3. Решение задач
![]() |
Для движения мыши в траекторной системе координат второй закон
Ньютона дает уравнения
т.е.
(3.1)
Условия равновесия доски в системе
координат ведут к уравнениям статики
(3.2)
Так как , то,
учитывая (3.1),
.
Подстановка в
первое уравнение системы (3.2) ведет к уравнению
. (3.3)
Соответствующие начальные условия
. (3.4)
Общее решение линейного неоднородного уравнения (3.3) имеет вид
.
Из начальных условий (3.4) получим,
что . В итоге
.
Замечание. Второе уравнение системы (3.2) не
использовалось. Оно позволяет в рассматриваемом случае движения найти силу
реакции опоры .
2) Перепишем уравнение
(3.3) в виде . Так как
,
то
. Разделяя переменные и
интегрируя последнее уравнение на участке движения АВ, получим
,
и далее
, т.е.
.
Ответ: 1) ,
2) .
2. Точка движется в
плоскости, проходящей через вектор начальной скорости и радиус шара,
проведенный в начальное положение точки, описывая дугу окружности радиуса в этой плоскости (рис. 3.3). Учитывая действующие
на точку силы
, нормальную реакцию опоры
и силу трения
,
запишем второй закон Ньютона в проекции на касательную и нормаль к траектории
точки.
(3.5)
Реакция опоры .
При
, что невозможно, т.е. при достаточно
большой начальной скорости
точка в начальный момент
времени отрывается от поверхности шара.
Подстановка в первое уравнение системы (3.5) дает
, или
. Разделяя
переменные, имеем
.
Интегрируя последнее выражение на участке движения от его начала до остановки,
получим
. (3.6)
Интеграл в левой части (3.6)
Тогда из (3.6) следует , или
.
Ответ: .
3. Запишем второй закон Ньютона для точки (рис. 3.4)
.
В проекциях на оси координат в совокупности
с уравнением связи, в качестве которого выступает уравнение сферы, он дает
систему уравнений
(3.7)
Дифференцированием по времени уравнения
связи получим , и далее
, или
. Умножением
первых уравнений системы (3.7) на
соответственно и их последующим
сложением получаем
.
Так как работу совершает
только консервативная стационарная сила , то выполнен
закон сохранения полной механической энергии точки
.
Кинетическая энергия , для потенциальной энергии
, т.е.
. Тогда
,
т.е.
,
и (сила
реакции направлена внутрь сферы, а точка удерживается на сфере за счет достаточно
большой начальной скорости).
Подстановкой значения в уравнения (3.7) получим вместе с начальными
условиями
Если , то
решение последней системы дифференциальных уравнений при заданных начальных
условиях имеет вид
.
Так как , то
, и проекцией траектории
точки на плоскость будет эллипс, задаваемый последним
уравнением. Траекторией точки будет линия пересечения сферы и эллиптического
цилиндра, в основании которого лежит указанный эллипс, а осью цилиндра является
ось
.
Ответ: , эллипс
.
4.Второй закон Ньютона в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки (рис. 3.5) принимает вид
При отсутствии давления
. Дифференцируя последнее равенство по
времени, получим
. Так как при движении по
окружности
, то
, и,
следовательно,
.
Ответ: .
5. Силы, действующие на груз, показаны на рис. 3.6.
Второй закон Ньютона в проекции на оси и
дает уравнения
(3.8)
Геометрически .
Реакция
, сила трения
.
Длина нити АВ
уменьшается с постоянной скоростью
,то есть
.
Отсюда .
Дифференцированием по времени получим
, а
учитывая выражение для
:
.
Тогда из первого уравнения системы (3.8) получим для натяжения нити
.
Ответ: .
6. Силы, действующие
на материальную точку, показаны на рис. 3.7. Второй закон Ньютона в проекции на
оси траекторной системы координат (касательную, нормаль и бинормаль) даст следующую
систему уравнений
Так как сила трения
, то
, или
.
Если - путь,
пройденный точкой от начального до конечного положения, то
,
и
.
Разделением переменных получим
,
а интегрированием при совершении точкой полного оборота по кольцу имеем
.
Интеграл в левой части вычисляем с
использованием замены :
,
то есть .
Отсюда следует, что , т.е. должно быть
.
Возведением в квадрат и последующим вычислением получим
.
Ответ: .
7. 1-й способ. Рассмотрим движение стержня в воде (рис. 3.8). Сила тяжести и архимедова сила приводятся к центру масс стержня С. Тогда по теореме о движении центра масс стержня
.
![]() |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.