Решение задач: силы, действующие на диск

33. Силы, действующие на диск, показаны на рис. 3.39. Работу совершает только сила тяжести диска. По теореме об изменении кинетической энергии . Кинетическая энергия диска при плоскопараллельном движении

          .

Момент инерции диска .

Так как мгновенный центр скоростей диска расположен в точке , то угловая скорость ,

.

Тогда кинетическая энергия диска .

Работа силы тяжести , поэтому из теоремы об изменении кинетической энергии следует

.                                                            (3.47)

Дифференцируя (3.47) по времени и учитывая, что , получим

.

Учитывая (3.47) найдем составляющую ускорения

.

По теореме о движении центра масс диска

.

Отсюда натяжение нити

.

Ответ: ,

.

34. Переход обруча на наклонную плоскость показан на рис. 3.40. Условия отрыва и отсутствия проскальзывания состоит в том, что нормальная реакция опоры , а составляющая силы трения . Обруч при этом переходе вращается около неподвижной точки А.

По теореме о движении центра масс в проекции на касательную и нормаль к его траектории

        (3.48)

Силы реакции опоры и трения выразим через параметры движения используя теорему об изменении кинетической энергии . При вращательном движении . Момент инерции , угловая скорость , и кинетическая энергия . Работа силы тяжести .

Тогда из теоремы об изменении кинетической энергии следует

.                                                                               (3.49)

Из второго уравнения системы (3.48) получим для нормальной реакции опоры

.

При отсутствии отрыва  при всех углах , т.е. достаточно потребовать , или .

Дифференцируя по времени (3.49) получим . Так как , то , и из первого уравнения системы (3.48) касательная составляющая силы трения . Условие  ведет к неравенству , которое должно выполняться при .

Рассматривая левую часть неравенства , найдем , т.е.  убывает, и выполнения указанного неравенства достаточно потребовать при . Отсюда  .

Ответ: , .

35. 1-й способ. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В качестве параметров, характеризующих ее положение (рис. 3.41) возьмем , .

Внешние силы, действующие на систему, вертикальны. Составляющая их главного вектора , и, следовательно, составляющая импульса  системы . Центр масс системы С расположен на одной вертикали с точкой В, и , т.е.

.                                                             (3.50)

Второе уравнение, характеризующее движение системы, найдем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Так как работу совершают только консервативные стационарные силы тяжести, то следствием указанной теоремы является закон сохранения полной механической энергии системы

                .

Кинетическая энергия системы

.                                          (3.51)

Координаты центров масс стержней , ; составляющие скорости , . Моменты инерции , составляющие угловых скоростей . Подстановка последних формул в (3.51) даст .

Потенциальная энергия системы . В начальный момент времени . Учитывая (3.50), закон сохранения механической энергии системы даст

                .

Поэтому в момент падения стержней при  ; .

Составляющие скорости точки В

               

В момент падения при  .

2-й способ. Так как  (см. предыдущий способ), то поступательно движущаяся вместе с точкой В вправо система координат  (рис. 3.42) будет инерциальной, и в ней также .

Кинетическая энергия стержней , потенциальная энергия

 .

Начальная угловая скорость стержней

.

Дальнейшие вычисления повторяют первый способ.

Ответ: ,

.

36. Рассмотрим движение системы до достижения осью цилиндра крайнего нижнего положения (рис. 3.43). Внешние силы вертикальны, их составляющая , и составляющая импульса системы

.    (3.52)

Изменение кинетической энергии системы равно работе силы тяжести цилиндра . Кинетическая энергия системы в показанный на рис. 3.43 момент времени . Угловая скорость цилиндра за счет разности скоростей  и  , момент инерции . Поэтому . Так как  (в начальный момент времени система  покоилась), то

.                            (3.53)

Совместным решением (3.52) и (3.53) относительно неизвестных  и  получим .

Ответ: .

37. Работу в рассматриваемой системе (рис. 3.44) совершают только силы взаимодействия между точкой и платформой. Она равна изменению кинетической энергии системы .

В начальный момент времени . Скорость точки по теореме сложения скоростей ,т.е., .

В момент попадания точки на ось

вращения

   , и

.        (3.54)

Чтобы найти угловую скорость платформы в момент попадания точки на ось вращения воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения . Главный момент внешних сил тяжести и реакции подшипников , и поэтому

.

В начальный момент времени , в момент попадания точки на ось вращения , поэтому . Подставляя последний результат в (3.54), получим .

Ответ: .

38. Рассмотрим качение обруча по горизонтальной плоскости без проскальзывания до отрыва от нее (рис. 3.45). Работу при этом совершает только сила тяжести и выполняется закон сохранения полной механической энергии

.

Кинетическая энергия материальной точки, принадлежащей катящемуся без проскальзывания обручу .

Скорость

, и

.

Потенциальная энергия , поэтому

, то есть

.                                                        (3.55)

Отрыва обруча от горизонтальной плоскости происходит в тот момент времени, когда обращается в ноль нормальная реакция плоскости . По теореме о движении центра масс в проекции на ось

                .                                                                         (3.56)

Так как , то . Дифференцируя по времени (3.55) после некоторых преобразований получим . Далее из (3.56) найдем, что . Отрыв обруча от плоскости произойдет при значении угла : .

Заметим, что так как вся масса системы сосредоточена в точке М, то вследствие принципа Д’Аламбера равнодействующая силы трения  и нормальной реакции опоры  направлена по прямой СМ, и сила трения  обращается в ноль одновременно с . В этом также можно убедиться, вычислив силу трения. Действительно , ,  и

  .

Условие качения без проскальзывания состоит в выполнении неравенства , т.е. (см. рис. 3.45) . Этого достаточно потребовать при угле . Так как ,  , то .

Ответ: .