Решение задач: внешние силы, действующие на систему

12. Внешние силы, действующие на систему, векторы которых лежат в плоскости диска, отсутствуют. Так как в начальный момент времени система покоилась, то центр масс системы и в дальнейшем будет оставаться неподвижным. При равенстве масс точки и диска он расположен по середине отрезка  (рис. 3.15). На рис. 3.15 показаны начальное и текущее положение системы.

По теореме о сохранении количества движения системы

      .   (3.15)

Так как , , то в проекции на касательную к траектории центра масс диска  из (3.15) следует

                 ( - угловая скорость диска).              (3.16)

Главный момент внешних сил относительно оси , перпендикулярной плоскости диска, , т.е. кинетический момент первоначально покоящейся системы , или

.                                     (3.17)

Отсюда следует после подстановки в (3.17) необходимых величин и преобразований, что . Тогда из (3.16) следует, что .

Ответ: .

13. Силы, действующие на тела, показаны на рис. 3.16. Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента для каждого тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости движения "от нас", и через мгновенный центр скоростей каждого тела  (точку касания с горизонтальной плоскостью качения). Тогда из составляемых уравнений будут исключены не подлежащие

определению силы взаимодействия с горизонтальной плоскостью.

      Согласно указанной теореме . Так как , то

                                    (3.18)

В силу третьего закона Ньютона , при проскальзывании катков друг относительно друга сила трения . Если  - горизонтальная ось, то в отсутствие отрыва катков друг от друга , т.е. , или . Дифференцированием получаем, что .

Если , , то

, и решением системы (3.18) получим .

Из теоремы о движении центра масс первого катка в проекции на вертикаль                       .

Отсюда . При отсутствии отрыва катка от плоскости , или .

Замечание. При  система будет оставаться в равновесии, что можно показать решением соответствующей задачи статики для рассматриваемой системы.

Ответ: , .

14. Силы, действующие на тела, показаны на рис. 3.17. Для составления уравнений движения тел воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента каждого тела относительно оси , проходящей через мгновенный центр скоростей тела

      .

Так как , то

                                           (3.19)

В соответствии с теоремой Штейнера , , из третьего закона Ньютона , силы трения при проскальзывании цилиндров друг относительно друга .

Координаты , т.е. , и ускорения центров цилиндров одинаковы. Угловые ускорения . Тогда из (3.19) следует

               

Решением последней линейной системы находим .

По теореме о движении центров масс каждого тела , т.е. в проекции на оси  и

               

Решением последней системы получим

               

При отсутствии отрыва цилиндра от плоскости должно быть , т.е.

.                                                                 (3.20)

При отсутствии проскальзывании цилиндров по плоскости силы трения . Отсюда следует, что должно быть

.                                       (3.21)

Так как , то условие (3.20) выполнено при выполнении условий (3.21), и его можно опустить. При , и достаточно выполнить условие  (при увеличении угла  первым начнет проскальзывать нижний цилиндр).

Ответ: , .

15. Чтобы момента  было достаточно для отрыва цилиндра от горизонтальной плоскости нужно, чтобы главный момент сил, показанных на рис. 3.18, относительно оси , направленной "от нас" перпендикулярно плоскости рисунка, был положителен, т.е. . Так как , , то

.                                                                            (3.22)

При этом условии цилиндр начинает вкатываться.

Рассмотрим вкатывание цилиндра на выступ в отсутствии проскальзывания (рис. 3.19). Для составления уравнения, описывающего движение цилиндра, воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента относительно оси , проходящей через мгновенный центр скоростей

                .

Так как , момент инерции , то

 .

Центр масс цилиндра С движется по окружности радиуса , его скорость , т.е. , поэтому           . Так как ,  то  . Разделяя переменные и интегрируя, получим

,  или  .

Для установления условия вкатывания без проскальзывания нужно найти силу трения  и нормальную реакцию выступа . Из теоремы о движении центра масс цилиндра в проекциях на касательную и нормаль к траектории этой точки

               

Так как , то

, .

При  при отсутствии отрыва должно быть .  Производная

.

Если , то на указанном интервале измерения угла   монотонно убывает, и для выполнения условия  достаточно потребовать . Тогда

               т.е.    

что одновременно невозможно.

Если же , то  сначала возрастает, а затем убывает. Для выполнения условия  нужно потребовать , т.е. . Первое из последних двух неравенств выполняется при выполнении второго, т.е. достаточно выполнить условие

                .                                                                            (3.23)