Движения груза, амплитуда, частота, период колебаний и сила упругости

                                                           

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский  государственный горный  институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Расчетно-графическое задание

По дисциплине:                              Теоретическая механика

                            (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Вариант № 4

Тема:                       Колебательное движение материальной точки.

Выполнил: студент     гр. ТПП-02-2       ______________       /Иванов А.Н./

Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ:     ассистент       ____________       / Шишкин Е .В./

                                               ^{(должность)                         (подпись)                            (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2004 год.

ЗАДАНИЕ

К пружине жесткость С = 5 Н/см прикреплен груз массой 10 кг. Он перемещается на плоскости с углом наклона α равном 30^о. Найти уравнение движения груза, амплитуду, частоту, период колебаний и наибольшее значение силы упругости. (Массой пружины и сопротивлением пружины пренебречь.)

СХЕМА

т.О – положение статического равновесия.

т.А – конец недеформированной пружины.

λ_ст – статическая деформации пружины.

F_cт = C λ_ст – сила упругости.

РЕШЕНИЕ

1)         а) Условие статического равновесия груза в т.О:

            ∑Х = Psin α – F_ст = 0;

Psin α = F_ст;

λ_ст =  = 0.098 м. = 0.1 м. = 10 см.

2)         а) Рассмотрим движение груза:

Сила упругости: F = Cλ = C(λ_ст + x);

F =Cλ_ст + Сx = Сx + Psin α;

б) Дифференциальное уравнение движения груза: mx^’’ = X

X = Psin α – F = Psin α - Сx - Psin α = -Cx;

mx^’’ = -Cx;

в) Обозначим С/m = k² , k – Частота; k =  = 7.1 с^-1.

г) x^’’ + k² = 0 – дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением этого уравнения является: x = c₁coskt + c₂sinkt,        где

c₁, c₂ – коэффициенты, зависящие от начальных условий.

3)         а) Начальное условие:

λ_ст = 10 см => х₀ = - λ_ст = -10 см, V₀ = х₀’ = 0;

            б) х = c₁coskt + c₂sinkt – подставим начальное условие =>

х₀ = c₁cosk0 + c₂sink0 => c₁ = -10 см,

х’ = -kc₁sinkt + kc₂coskt – подставим начальное условие =>

х₀’ = -kc₁sink0 + kc₂cosk0 => c₂ = 0;

4)         Уравнение движение груза:

            х = -10cos(7.1t), см.

5)         Амплитуда колебаний:

            а = = 10 см.

6)         Период колебаний:

            r =  = 0,9 с.