Решение задач: ударное воздействие на систему

48. 1-й способ. Рассмотрим ударное воздействие на систему. Чтобы в составляемые уравнения не вошли неизвестные ударные импульсы реакций связи в шарнирах О и D (рис. 3.55), воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии при ударе

      .                  (3.76)

Кинетическая энергия системы . Для вращающегося стержня ОА . Для поступательно движущегося стержня АВ . Для всей системы . До удара .

Работа ударного импульса . Тогда из (3.76) следует , т.е.

                                                                               (3.77)

(угловая скорость стержня ОА непосредственно после удара).    

Рассмотрим последующее движение системы (рис. 3.56). По теореме об изменении кинетической энергии . Работа сил тяжести

,

поэтому при максимальном угле отклонения стержня ОА (так как )

.

Подстановка (3.77) в последнее выражение даст .

Максимальный угол отклонения , если . При  стержень ОА вращается около точки О, последовательно совершая полные обороты.

          2-й способ. Возьмем в качестве обобщенной координаты угол  и воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода при ударе

                                                                 (3.78)

Так как , , то из (3.78) следует, что непосредственно после удара при     . Далее ход решения из первого способа повторяется.

Ответ: , если .

49. Внешние ударные импульсы, действующие на систему, показаны на рис. 3.57. Чтобы составляемые уравнения не содержали неизвестных ударных импульсов в шарнирах  и , не совершающих при ударе работу, используем теорему об изменении кинетической энергии

      .                                                                                        (3.78)

До удара . После удара . Для вращающегося стержня . Момент инерции , и . Для стержня АВ, приходящего в плоскопараллельное движение  (точка  - мгновенный центр скоростей стержня АВ). По теореме Штейнера . Так как

       , то .

Угловая скорость , и кинетическая энергия . Для стержня  . Момент инерции

.

Угловая скорость . Из условия недеформируемости стержня АВ

, т.е. , или  . Тогда , и

. Для всей системы .

Работа ударных импульсов

.

Из (3.78) следует, что  .

Ответ: .

50. Вначале рассмотрим падение диска (рис. 3.58). По теореме об изменении кинетического момента относительно центра масс диска , т.е. .

По теореме об изменении кинетической энергии , или

.

Отсюда следует, что в момент падения на наклонную плоскость .

Так как удар является абсолютно неупругим, то после удара скорость точки соударения К станет равной нулю. Ударные импульсы  и  дают нормальная реакция опоры и сила трения. По теореме об изменении кинетического момента при ударе относительно оси , перпендикулярной плоскости движения диска

      .                                                                                      (3.79)

До удара . После удара

.

Тогда из (3.79) следует, что непосредственно после удара угловая скорость диска такова, что .

При подъеме диска по наклонной плоскости после удара по теореме об изменении кинетической энергии . Так как , , , то . Отсюда .

Ответ:

Библиографический список

1.  Курс теоретической механики / Под редакцией К.С. Колесникова. М.: Изд–во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2.  Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. С-Пб: Лань, 1998.

3.  Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1980.

4.  Исмагамбетов М.У., Рощанский В.И. Задачи по основам механики. С-Пб, Изд. центр СПбГМТУ, 1999.