Теоретическая механика. Решение задач. Часть 2

3. Решение задач

1. 1) Рассмотрим силы, действующие на мышь и на доску. Для мыши это ее сила тяжести, нормальная и касательная  силы взаимодействия с доской (рис. 3.1). Силы, действующие на доску, показаны на рис. 3.2 (сила тяжести, силы действия мыши и реакции опор в точках A и B).

Для движения мыши  в траекторной системе координат второй закон Ньютона дает уравнения

    т.е.                       (3.1)

Условия равновесия доски в системе координат  ведут к уравнениям статики      

                  (3.2)

Так как , то, учитывая (3.1),

.

Подстановка  в первое уравнение системы (3.2) ведет к уравнению

      .                                                    (3.3)

Соответствующие начальные условия

      .                                                                           (3.4)

Общее решение линейного неоднородного уравнения (3.3) имеет вид

      .

Из начальных условий (3.4) получим, что . В итоге

    .

Замечание. Второе уравнение системы (3.2) не использовалось. Оно позволяет в рассматриваемом случае движения найти силу реакции опоры .

2) Перепишем уравнение (3.3) в виде  . Так как , то . Разделяя переменные и

интегрируя последнее уравнение на участке движения АВ, получим

, и далее  , т.е.

.

Ответ: 1) ,

  2) .

2. Точка движется в плоскости, проходящей через вектор начальной скорости и радиус шара, проведенный в начальное положение точки, описывая дугу окружности радиуса  в этой плоскости (рис. 3.3). Учитывая действующие на точку силы , нормальную реакцию опоры  и силу трения , запишем второй закон Ньютона в проекции на касательную и нормаль к траектории точки.

               (3.5)

Реакция опоры . При , что невозможно, т.е. при достаточно большой начальной скорости  точка в начальный момент времени отрывается от поверхности шара.

Подстановка в первое уравнение системы (3.5) дает

      , или . Разделяя переменные, имеем

. Интегрируя последнее выражение на участке движения от его начала до остановки, получим

                .                                                                 (3.6)

Интеграл в левой части (3.6)

               

Тогда из (3.6) следует , или .

Ответ: .

3. Запишем второй закон Ньютона для точки (рис. 3.4)

                .

В проекциях на оси координат в совокупности с уравнением связи, в качестве которого выступает уравнение сферы, он дает систему уравнений

                          (3.7)

Дифференцированием по времени уравнения связи получим , и далее          , или . Умножением первых уравнений системы (3.7) на  соответственно и их последующим сложением получаем

      .

Так как работу совершает только консервативная стационарная сила , то выполнен закон сохранения полной механической энергии точки

      .

Кинетическая энергия , для потенциальной энергии , т.е. . Тогда

, т.е. ,

 и  (сила реакции направлена внутрь сферы, а точка удерживается на сфере за счет достаточно большой начальной скорости).

Подстановкой значения  в уравнения (3.7) получим вместе с начальными условиями

     

Если , то решение последней системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях имеет вид

      .

Так как , то , и проекцией траектории

точки на плоскость  будет эллипс, задаваемый последним уравнением. Траекторией точки будет линия пересечения сферы и эллиптического цилиндра, в основании которого лежит указанный эллипс, а осью цилиндра является ось .

Ответ: , эллипс .

4.Второй закон Ньютона в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки (рис. 3.5) принимает вид

     

При отсутствии давления          . Дифференцируя последнее равенство по времени, получим  . Так как при движении по окружности , то , и, следовательно, .

Ответ: .

5. Силы, действующие на груз, показаны на рис. 3.6. Второй закон Ньютона в проекции на оси  и  дает уравнения

                                                                        (3.8)

Геометрически . Реакция , сила трения .

Длина нити АВ уменьшается с постоянной скоростью ,то есть

.

Отсюда . Дифференцированием по времени получим , а учитывая выражение для  :            .

Тогда из первого уравнения системы (3.8) получим для натяжения нити

      .

Ответ: .

6. Силы, действующие на материальную точку, показаны на рис. 3.7. Второй закон Ньютона в проекции на оси траекторной системы координат (касательную, нормаль и бинормаль) даст следующую систему уравнений

     

Так как сила трения

, то , или

 .

Если  - путь, пройденный точкой от начального до конечного положения, то

, и .

Разделением переменных получим

      ,

а интегрированием при совершении точкой полного оборота по кольцу имеем

       .

Интеграл в левой части вычисляем с использованием замены :

,

то есть .

Отсюда следует, что , т.е. должно быть .

Возведением в квадрат и последующим вычислением получим

      .

Ответ: .

7. 1-й способ. Рассмотрим движение стержня в воде (рис. 3.8). Сила тяжести и архимедова сила приводятся к центру масс стержня С. Тогда по теореме о движении центра масс стержня

      .

Так как ,  ( - плотность материала стержня), то ; при . Поэтому пока стержень находится полностью в воде он поднимается по закону . Верхний конец достигает поверхности воды при , т.е. , а скорость центра масс стержня .