После выхода верхнего конца стержня из воды согласно теореме о движении центра масс в системе координат, показанной на рис. 3.9, , где . Тогда
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения для имеет вид
.
Из начальных условий следует, что произвольные постоянные , и
,
т.е. центр масс стержня после выхода его из воды колеблется по вертикали около уровня поверхности воды. Максимальная высота подъема верхнего конца стержня над поверхностью воды
.
2-й способ. За время движения стержня в воде по теореме об изменении кинетической энергии . Кинетическая энергия поступательно движущегося стержня , работа силы тяжести и архимедовой силы , . Тогда в момент касания верхним концом стержня поверхности воды , и .
После выхода верхнего конца стержня из воды работа силы тяжести и архимедовой силы . В момент наибольшего выхода стержня из воды скорость всех точек поступательно движущегося стержня будет нулевой, и по теореме об изменении кинетической энергии
, т.е., или .
Из последнего квадратного уравнения, оставляя наибольший его корень, имеем
.
Вышеизложенное показывает, что второй способ дает результат, но не проясняет характера движения стержня.
Ответ: .
8. Рассмотрим движение точки относительно диска. Вид сверху показан на рис. 3.10. Так как во все моменты времени , то , т.е. траекторией точки М относительно диска является окружность с центром в точке и радиуса . Ближайшим и наиболее удаленным от центра диска положениями точки М будут и .
Составляющие относительной скорости точки М
и . В соответствии с уравнениями относительного движения точки в положениях и векторы относительной скорости направлены по касательной к окружности, как показано на рис. 3.10.
Сумма моментов внешних сил, приложенных к системе, относительно оси , равна нулю, поэтому как следствие теоремы об изменении кинетического момента . Кинетический момент системы точка-диск
.
Скорость точки М по теореме сложения скоростей, учитывая вращательное движение диска, .
Для наиболее близкого к центру диска положения
. (3.9)
В момент времени , соответствующий положению ,
.
Так как , , , то
.
В начальный момент времени . Так как , то . Подставив найденные выражения в (3.9), получим ( сонаправлена с осью ).
Для наиболее удаленного от центра диска положения
. (3.10)
В момент времени , соответствующий положению ,
.
Так как , то .
Далее из (3.10) следует ( противонаправлена оси ).
Ответ: , .
9. 1-й способ. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.11. Составить уравнение, описывающее движение системы и не содержащее неизвестных сил реакции позволяет теорема об изменении кинетического момента относительно оси , так как моменты .
(3.11)
Кинетический момент системы
.
Моменты инерции однородных дисков
, .
Мгновенный центр скоростей диска 2 расположен в точке , поэтому , а скорость точки : .
Тогда .
Главный момент внешних сил . Тогда из (3.11) следует
.
Угловое ускорение .
2-й способ. Теорема об изменении кинетической энергии также позволяет составить дифференциальное уравнение движения системы, не содержащее неизвестных реакций , , так как они приложены в неподвижной точке и не совершает работу.
Кинетическая энергия . При вращательном движении , при плоскопараллельном движении , т.е.
.
Элементарная работа сил . Поэтому
.
Так как , то .
Ответ: .
10. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.12. По теореме об изменении кинетического момента стержня АВ вместе с грузом и ползуном относительно оси
.
Так как ,
, и реакция направляющих ползуна .
По теореме об изменении кинетического момента всей системы относительно оси
. (3.12)
Так как ,
то из (3.12) следует
.
Начальные условия к полученному уравнению . Решение для
.
Из начальных условий следует , т.е.
.
Ответ: .
11. Рассмотрим произвольный плоский физический маятник (рис. 3.13). Внешние силы показаны на рисунке. Система координат жестко связана с маятником. По теореме об изменении кинетического момента относительно оси .
В отсутствие присоединенной точечной массы , так как , , следует уравнение
. (3.13)
При наличии присоединенной массы в точке с координатами ()
, , и
. (3.14)
Движения маятника без присоединенной точечной массы и с ней совпадают при совпадении уравнений (3.13) и (3.14), то есть при совпадении коэффициентов при линейно независимых и в правых частях этих уравнений. Поэтому
, , т.е. или .
Случай помещения присоединенной массы в точку подвеса тривиален и очевиден. Случай , более интересен.
Замечание. Формула была получена Х. Гюйгенсом. Точка с указанными координатами называется центром качания.
Для квадрата (рис. 3.14) стороны
( - плотность). Если - площадь квадрата, то , и . Отсюда .
Ответ: на прямой ОС на расстоянии от точки подвеса.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.