Теоретическая механика. Решение задач. Часть 2, страница 2

После выхода верхнего конца стержня из воды согласно теореме о движении центра масс в системе координат, показанной на рис. 3.9, , где . Тогда

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения для  имеет вид

.

Из начальных условий следует, что произвольные постоянные , и

,

т.е. центр масс стержня после выхода его из воды колеблется по вертикали около уровня поверхности воды. Максимальная высота подъема верхнего конца стержня над поверхностью воды

      .

2-й способ. За время движения стержня в воде по теореме об изменении кинетической энергии . Кинетическая энергия поступательно движущегося стержня , работа силы тяжести и архимедовой силы , . Тогда в момент касания верхним концом стержня поверхности воды , и .

После выхода верхнего конца стержня из воды работа силы тяжести и архимедовой силы  . В момент наибольшего выхода стержня из воды скорость всех точек поступательно движущегося стержня будет нулевой, и по теореме об изменении кинетической энергии

      , т.е., или .

Из последнего квадратного уравнения, оставляя наибольший его корень, имеем

      .

Вышеизложенное показывает, что второй способ дает результат, но не проясняет характера движения стержня.

Ответ: .

8. Рассмотрим движение точки относительно диска. Вид сверху показан на рис. 3.10. Так как во все моменты времени , то , т.е. траекторией точки М относительно диска является окружность с центром в точке  и радиуса . Ближайшим и наиболее удаленным от центра диска положениями точки М будут  и .

Составляющие относительной скорости точки М

               

и . В соответствии с уравнениями относительного движения точки в положениях  и  векторы относительной скорости направлены по касательной к окружности, как показано на рис. 3.10.

Сумма моментов внешних сил, приложенных к системе, относительно оси , равна нулю, поэтому как следствие теоремы об изменении кинетического момента . Кинетический момент системы точка-диск

      .

Скорость точки М по теореме сложения скоростей, учитывая вращательное движение диска, .

Для наиболее близкого к центру диска положения

                .                                                                                (3.9)

В момент времени , соответствующий положению ,

      .

Так как , , , то

.

В начальный момент времени          . Так как , то . Подставив найденные выражения в (3.9), получим   ( сонаправлена с осью ).

Для наиболее удаленного от центра диска положения

                .                                                                               (3.10)

В момент времени , соответствующий положению ,

      .

Так как , то .

Далее из (3.10) следует  ( противонаправлена оси ).

Ответ: , .

9. 1-й способ. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.11. Составить уравнение, описывающее движение системы и не содержащее неизвестных сил реакции  позволяет теорема об изменении кинетического момента относительно оси , так как моменты .

                           (3.11)

Кинетический момент системы

                .

Моменты инерции однородных дисков

                , .

Мгновенный центр скоростей диска 2 расположен в точке , поэтому , а скорость точки : .

Тогда .

Главный момент внешних сил . Тогда из (3.11) следует

                .

Угловое ускорение .

2-й способ. Теорема об изменении кинетической энергии также позволяет составить дифференциальное уравнение движения системы, не содержащее неизвестных реакций , , так как они приложены в неподвижной точке и не совершает работу.

               

Кинетическая энергия . При вращательном движении , при плоскопараллельном движении , т.е.

                .

Элементарная работа сил . Поэтому

 .

Так как , то .

Ответ: .

10. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.12. По теореме об изменении кинетического момента стержня АВ вместе с грузом и ползуном относительно оси  

      .

Так как ,

, и реакция направляющих ползуна .

По теореме об изменении кинетического момента всей системы относительно оси

                .                                                                              (3.12)

Так как ,

то из (3.12) следует

                .

Начальные условия к полученному уравнению . Решение для

.

Из начальных условий следует , т.е.

.

Ответ: .

11. Рассмотрим произвольный плоский физический маятник (рис. 3.13). Внешние силы показаны на рисунке. Система координат  жестко связана с маятником. По теореме об изменении кинетического момента относительно оси          .

В отсутствие присоединенной точечной массы , так как , , следует уравнение

                .                                                                     (3.13)

При наличии присоединенной массы в точке с координатами ()

, , и

.                (3.14)

Движения маятника без присоединенной точечной массы и с ней совпадают при совпадении уравнений (3.13) и (3.14), то есть при совпадении коэффициентов при линейно независимых  и  в правых частях этих уравнений. Поэтому

, , т.е.  или .

Случай помещения присоединенной массы в точку подвеса  тривиален и очевиден. Случай ,  более интересен.

Замечание. Формула  была получена Х. Гюйгенсом. Точка с указанными координатами называется центром качания.

Для квадрата (рис. 3.14) стороны

 

( - плотность). Если  -  площадь квадрата, то , и . Отсюда .

Ответ: на прямой ОС на расстоянии  от точки подвеса.