23. По теореме об изменении кинетической энергии
(3.30)
Кинетическая энергия вращающегося
уголка (рис. 3.27)
. Момент инерции относительно оси
.
Так как , то
,
(
– масса стержня).
Работа сил тяжести стержней
.
Тогда из (3.30) следует . Для функции
,
при
.
При , при
. Максимум угловой скорости достигается при
.
При
.
Ответ: .
24. В момент отрыва точки
сила реакции сферы (рис. 3.28) обращается в ноль.
Траекторией точки будет дуга окружности радиуса
, расположенная
в вертикальной плоскости, в которой лежит вектор начальной скорости точки
.
Согласно второму закону Ньютона в
проекции на нормаль к траектории точки
, или
. (3.31)
По теореме об изменении кинетической
энергии для точки М , или
, т.е.
.
Тогда из (3.31) следует . В момент отрыва
,
т.е.
.
Если , или
. Если
, или
(достаточно
большая начальная скорость), то
.
Ответ: , если
;
, если
.
25. Воспользуемся
теоремой об изменении кинетической энергии рассматриваемой системы (рис. 3.29) ,
.
Кинетическая энергия четырех стержней
. (3.32)
При поступательном движении . Из условия недеформируемости стержня BD проекции скоростей
, т.е.
. Так
как
, то
, и
.
Кинетические энергии
стержней АЕ и BD равны. При плоскопараллельном
движении в текущем положении точка является мгновенным
центром скоростей стержня BD, и
. Момент инерции
,
угловая скорость
,
и
.
Тогда кинетическая энергия всей системы из (3.32)
.
Работа сил тяжести
стержней АВ, BD и АЕ и силы
.
При силы
недостаточно, чтобы начать подъем
рассматриваемой системы.
Из теоремы об изменении кинетической энергии системы следует, что
. (3.33)
Рассмотрим функцию . Ее производная
.
На интервале ,
когда возможно показанное на рис. 3.29 текущее положение системы,
при
, или
При
(
возрастает),
при
( убывает).
Скорость точки А максимальна при
и, как следует из
(3.33),
, т.е.
.
Ответ: .
26. Рассматриваемая
система (рис. 3.30) имеет две степени свободы. Ее положение будем задавать
смещением тела
вдоль горизонтальной плоскости и
углом
, который прямая
образует
с горизонталью. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.30. Горизонтальная составляющая их
главного вектора
, в начальный момент времени система
покоилась, поэтому составляющая импульса системы
. Но
. Так как
, то
, и
, т.е.
(3.34)
Работу в рассматриваемой
системе совершает только консервативная стационарная сила тяжести цилиндра, и
выполнен закон сохранения механической энергии . Кинетическая
энергия системы
. (3.35)
Скорости точек . Воспользовавшись теоремой косинусов, имеем
.
Так как тело с выемкой движется
поступательно, то угловая скорость цилиндра равна его угловой скорости
относительно тела. В этом относительном движении точка касания цилиндра и тела
является мгновенным центром скоростей, и . Момент
инерции цилиндра
. Подставив последние формулы в
(3.35), получим для кинетической энергии системы
.
Потенциальная энергия системы
.
В начальный момент времени ,
, и из
закона сохранения механической энергии системы получим
. (3.36)
Совместным решением (3.34) и (3.36)
при , соответствующем нижнему положению оси цилиндра,
найдем
(в момент первого прохождения крайнего
нижнего положения).
Ответ: .
27. Рассмотрим движение модели качелей в виде описанного в условии задачи математического маятника (рис. 3.31) за один цикл.
На участке 0-1 по теореме
об изменении кинетической энергии , или
, т.е.
. При
сокращении длины стержня на участке 1-2 в соответствии с теоремой об изменении
кинетического момента относительно оси, проходящей через точку подвеса
перпендикулярно плоскости
![]() |
На участке подъема 2-3 , или
, т.е.
. Далее происходит мгновенное
восстановление длины стержня. При опускании (участок 4-5)
, или
.
Изменение высоты
. Так как
,
то
,
. При
сокращении длины стержня
.
При подъеме (участок 6-7)
, или
, т.е.
. После восстановления длины стержня (7-8)
идет опускание (участок
8-9), и , или
. Так как
,
, то
,
. После мгновенного сокращения длины
стержня
.
Если – скорости попадания точки в положение 2,
10, 18…, то
. Соответственно
,…,
. При совершении полного оборота после N-попадания в крайнее нижнее положение
по теореме об изменении кинетической энергии должно быть выполнено условие
, т.е.
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.