Решение задач по теоретической механике, страница 2

Ответ: .

28. Рассматриваемая система (рис. 3.32) имеет две степени свободы: поворот окружности и движение стержня относительно окружности. Главный момент внешних сил тяжести и реакции подшипников D и Е относительно оси , поэтому кинетический момент системы

. (3.37)

В начальный момент времени . Момент инерции окружности относительно оси вращения , момент инерции относительно этой же оси параллельно расположенного стержня

, и .

В момент остановки стержня относительно окружности, соответствующий положению , , , и

. Тогда из (3.37) следует, что .

Работу на рассматриваемом интервале времени совершает только консервативная стационарная сила тяжести стержня, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии

. (3.38)

Так как , ,

, , то из (3.38) следует, что искомая

Ответ: .

29. Внешние силы, действующие на цилиндр после удаления опоры В, показаны на рис. 3.33. По теореме об изменении кинетического момента относительно центра масс С в проекции на ось, перпендикулярно плоскости движения цилиндра . Главный момент внешних сил , и . Поэтому угловая скорость , и после удаления опоры В цилиндр движется поступательно. Так как до отрыва от опоры А , то центр масс С движется по окружности радиуса с центром в точке А. По теореме о движении центра масс в проекции на нормаль к его траектории

. (3.38)

В начальный момент времени , и

Так как изменение кинетической энергии равно работе силы тяжести цилиндра, то

. (3.39)

В момент отрыва при реакция опоры А , и совместное решение (3.38) и (3.39) дает . Вертикальное перемещение центра масс к этому моменту времени равно изменению его высоты

Ответ: , .

30. Рассмотрим движение стержня до отрыва от вертикальной стенки (рис. 3.34). Работу при этом падении совершает только консервативная стационарная сила тяжести, и

. (3.40)

Кинетическая энергия стержня

(точка - мгновенный центр скоростей стержня). Момент инерции , составляющая угловой скорости , и .

Потенциальная энергия . Тогда из (3.40) следует

. (3.41)

Отрыв от вертикальной стенки наступает, когда ее реакция . По теореме о движении центра масс

. (3.42)

Так как , то . Дифференцируя (3.41) по времени получим . Подставив полученные выражения в (3.42) найдем .

В момент отрыва . Так как , и , то . Угловая скорость в этот момент времени, согласно (3.41), , т.е. .

После отрыва от стенки (рис. 3.35) , т.е.

Кинетическая энергия при плоскопараллельном движении стержня

Для скорости центра масс ,

момент инерции , и .

В момент падения при на основании (3.40) получим , т.е. .

Ответ: , .

31. Рассматриваемая система (рис. 3.36) имеет две степени свободы. Для составления двух уравнений, описывающих ее закон движения, используем две теоремы динамики.

Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.36. Сумма моментов параллельных сил тяжести и пересекающих ось сил реакции опоры относительно указанной оси . Тогда кинетический момент системы, учитывая начальные условия, . Но . Для цилиндра .

Для шарика

. (3.43)

Скорость шарика по теореме сложения скоростей . Переносная скорость поворота шарика вместе с цилиндром . Для вычисления скорости шарика относительно цилиндра используем связанную с цилиндром цилиндрическую систему координат. Тогда . Поэтому, согласно (3.43), . Спираль желоба описывается уравнением , то есть , и . Для всей системы , и .