Решение задач по теоретической механике

23. По теореме об изменении кинетической энергии

                                                                                                 (3.30)

Кинетическая энергия вращающегося уголка (рис. 3.27) . Момент инерции относительно оси

   .

Так как , то ,  ( – масса стержня).

Работа сил тяжести стержней

.

Тогда из (3.30) следует  .  Для функции

          ,

  при .

При , при . Максимум угловой скорости достигается при .

При

 .

Ответ: .

24. В момент отрыва точки сила реакции сферы  (рис. 3.28) обращается в ноль. Траекторией точки будет дуга окружности радиуса , расположенная в вертикальной плоскости, в которой лежит вектор начальной скорости точки .

Согласно второму закону Ньютона в проекции на нормаль к траектории точки

, или

.    (3.31)

По теореме об изменении кинетической энергии для точки М , или

   , т.е. .

Тогда из (3.31) следует . В момент отрыва , т.е. .

Если , или . Если , или  (достаточно большая начальная скорость), то .

Ответ: , если ; , если .

25. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии рассматриваемой системы (рис. 3.29) , .

Кинетическая энергия четырех стержней

.    (3.32)

При поступательном движении . Из условия недеформируемости стержня BD проекции скоростей , т.е. . Так как , то , и

                                              .

Кинетические энергии стержней АЕ и BD равны. При плоскопараллельном движении в текущем положении точка  является мгновенным центром скоростей стержня BD, и . Момент инерции

, угловая скорость

, и .

Тогда кинетическая энергия всей системы из (3.32)

      .

Работа сил тяжести стержней АВ, BD и АЕ и силы

.

При  силы  недостаточно, чтобы начать подъем рассматриваемой системы.

Из теоремы об изменении кинетической энергии системы следует, что

                .                                                           (3.33)

Рассмотрим функцию . Ее производная

 .

На интервале , когда возможно показанное на рис. 3.29 текущее положение системы,  при , или

При   ( возрастает), при   

( убывает). Скорость точки А максимальна при  и, как следует из (3.33), , т.е. .

Ответ: .

26. Рассматриваемая система (рис. 3.30) имеет две степени свободы. Ее положение будем задавать смещением тела  вдоль горизонтальной плоскости и углом , который прямая  образует с горизонталью. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.30. Горизонтальная составляющая их главного вектора , в начальный момент времени система покоилась, поэтому составляющая импульса системы    . Но . Так как  

, то , и , т.е.                                                                                          (3.34)

Работу в рассматриваемой системе совершает только консервативная стационарная сила тяжести цилиндра, и выполнен закон сохранения механической энергии . Кинетическая энергия системы

                .                                              (3.35)

Скорости точек . Воспользовавшись теоремой косинусов, имеем

      .

Так как тело с выемкой движется поступательно, то угловая скорость цилиндра равна его угловой скорости относительно тела. В этом относительном движении точка касания цилиндра и тела является мгновенным центром скоростей, и . Момент инерции цилиндра . Подставив последние формулы в (3.35), получим для кинетической энергии системы

                .

Потенциальная энергия системы

                .

В начальный момент времени , , и из закона сохранения механической энергии системы получим

                .                                   (3.36)

Совместным решением (3.34) и (3.36) при , соответствующем нижнему положению оси цилиндра, найдем  (в момент первого прохождения крайнего нижнего положения).

Ответ: .

          27. Рассмотрим движение модели качелей в виде описанного в условии задачи математического маятника (рис. 3.31) за один цикл.

На участке 0-1 по теореме об изменении кинетической энергии , или , т.е. . При сокращении длины стержня на участке 1-2 в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента относительно оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости

На участке подъема 2-3  , или  , т.е.     . Далее происходит мгновенное восстановление длины стержня. При опускании (участок 4-5) , или . Изменение высоты . Так как , то , . При сокращении длины стержня .

При подъеме (участок 6-7) , или , т.е.   . После восстановления длины стержня (7-8) идет опускание (участок

 8-9), и , или . Так как , , то , . После мгновенного сокращения длины стержня .

Если  – скорости попадания точки в положение 2, 10, 18…, то . Соответственно ,…, . При совершении полного оборота после N-попадания в крайнее нижнее положение по теореме об изменении кинетической энергии должно быть выполнено условие  , т.е. .