Разработка и анализ алгоритма настройки параметров ПИ-регуляторов нелинейных систем управления, страница 5

Алгоритм оценивания (5.1)-(5.6) получен минимизацией квадратичного функционала (3.9). Из уравнения Риккати (5.2) и формул (5.3) и (3.5) следует, что матрица Гессе  этой задачи оптимизации положительно определена (либо  положительно полуопределена) при любых значениях параметра регуляризации , параметров  и  ПИ-преобразователя (3.5) и элементов  диагональной матрицы  нормирующих множителей. Поэтому динамическая система (5.1)-(5.6) асимптотически устойчива и формирует единственное решение рассматриваемой задачи оптимального управления [14]. Но тогда из условия минимума следует, что переменные  и  обращают в нуль подынтегральное выражение функционала (3.5). После подстановки выражений (5.5), (3.5) и (5.4) в (3.9) и приведения подобных получим следующее уравнение для вектора  погрешностей управления:

Из теории устойчивости Ляпунова известно, что решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (5.7) устойчиво при любых значениях параметров  и  ПИ-преобразователя (3.5). Поэтому отклонения  текущих значений переменных состояния ОУ, формируемых с помощью ПИ-регулятора (5.1)-(5.6), от требуемых значений, заданных формулами (1.6), (3.3) и (3.4),  асимптотически уменьшаются до нуля при . Требуемые (желаемые) законы изменения во времени погрешностей управления  можно обеспечить выбором числовых значений параметров  и .

Пример практической реализации. Качество полимеров, лаков, красок, машинных масел и других нефтепродуктов определяют в процессе  их производства по текущим значениям плотности , кинематической вязкости  при характерной температуре  и индексу вязкости (или по текущим значениям вязкости при характерной температуре и энергии внутримолекулярных связей ). В процессе синтеза указанных нефтепродуктов их плотность ,  вязкость  и параметры функциональной зависимости вязкости от температуры непрерывно изменяются. На нефтеперерабатывающих предприятиях и предприятиях химической промышленности России контроль вязкости и индекса вязкости выпускаемой продукции осуществляют один раз в смену с помощью лабораторных вискозиметров. Управляют технологическими процессами синтеза этих продуктов с помощью автоматизированных систем управления на основе опыта и интуиции оператора (аппаратчика). В результате эти предприятия выпускают большое количество некондиционной продукции [1]. Поэтому для промышленных установок непрерывного производства были разработаны адаптивные системы автоматического контроля и управления вязкости и энергии внутримолекулярных связей полимеров [15], вязкости и индекса вязкости машинных масел [13], реализующие алгоритм адаптивного управления (4.1)-(4.4), (5.1)-(5.6).

Шесть адаптивных систем автоматического контроля и управления вязкости и энергии внутримолекулярных связей полимеров с 1994 года находятся в эксплуатации на Заводе органического синтеза Могилевского ПО «Химволокно» (Белоруссия). Наблюдатель переменных состояния этих систем выполнен в виде адаптивного проточного вискозиметра, оснащенного цифровым вычислительным блоком (контроллером). Через калиброванный участок трубопровода (с диаметром условного прохода  м.), помещенного в теплообменник, с помощью шестеренчатого насоса регулируемой производительности прокачивают расплав полимера (или его полуфабриката) под давлением 100 бар при температуре (290-310) градусов Цельсия. Трубопровод оснащен шестеренчатым расходомером; датчиком потерь давления  на длине  трубопровода; датчиком давления  за расходомером  и датчиком температуры  расплава полимера.

 Процесс ламинарного течения расплава полимера в трубопроводе описывают уравнением гидродинамики:

.

Математическая модель расходомера: