Синтез самонастраивающихся регуляторов нелинейных систем автоматического управления, страница 2

При известной оценке возмущающих воздействий  оптимальная по критерию МАВ оценка  вектора переменных состояния  системы управления обращает в максимум условную плотность  на всем интервале времени  управ-ления, где  - множество непрерывных реализаций вектора переменных состояния ,  - множество непрерывных реали-заций фазовых траекторий (3.2.3) на этом интервале времени.

Так как вектор  составлен из случайных гауссовских величин с известными вероятностными характеристиками, а  и  - векторы случайных гауссовских процессов, то условная плотность   является гауссовской. При этом из  (3.2.1)-(3.2.3) следует, что

Таким образом, условная плотность (3.2.4) определяет ПИД-регулятор управляющих воздействий, оптимальный по критерию МАВ.

Критерий обобщенного МНК. Если ввести дополнительную переменную по формулам

то задачу максимизации условной плотности  при ограничении (3.2.1) можно заменить эквивалентной задачей минимизации функции стоимости

по переменным ,  и  при ограничениях (3.2.1), (3.2.6), (3.2.7).

Очевидно, что если погрешности  и  нельзя считать гауссовскими белыми шумами, то функция стоимости (3.2.8) является функцией стоимости обобщенного МНК, где , ,  и  - положительно определенные матрицы весовых коэффициентов.

3.3. Самонастраивающиеся ПИД-регуляторы

для нелинейных объектов управления

Самонастраивающийся ПИД-регулятор, оптимальный по критерию МАВ. ПИД-регулятор для нелинейного объекта управления (3.2.1)-(3.2.3) с гауссовскими цветными шумами, оптимальный по критерию МАВ (3.2.4), определяет следующая теорема.

Теорема 3. Пусть объект управления имеет нелинейное уравнение состояния (2.3.1) с начальными условиями (2.3.2) и на этот объект действуют возмущающие воздействия, изменение во времени которых описывают с помощью В-сплайнов уравнениями (2.3.3), (2.3.4) с начальными условиями (2.3.5). Пусть вектор выходных сигналов  измерительных устройств и вектор переменных состояния   связаны нелинейным  уравнением (2.3.7), где  - вектор средних значений погрешностей измерений,  -  вектор случайных составляющих погрешностей измерений, которые являются гауссовскими цветными шумами с нулевыми средними значениями и корреляционными функциями (2.1.22). Пусть начальные значения  и  являются гауссовскими случайными величинами, а погрешности аппроксимации  -  гауссовские цветные шумы с нулевыми средними значениями и корреляционными функциями (2.1.5). Пусть допустимые фазовые траектории перехода переменных состояния объекта управления в заданное конечное состояние заданы уравнением (3.1.6) с погрешностями , которые являются гауссовскими случайными процессами с ковариационными функциями (3.1.6). Пусть допустимые управляющие воздействия формирует динамическая система (2.1.13)-(2.1.15)  из гауссовских белых шумов .

Тогда управляющие воздействия , оптимальные по критерию максимума апостериорной вероятности (3.2.4), формирует следующий ПИД-регулятор:

с начальными  условиями

 где

а  и  - оптимальные по критерию МАВ оценки переменных состояния объекта управления и возмущающих воздействий  соответственно.

Доказательство. В рассматриваемую систему управления случайные возмущающие воздействия , ,  и неизвестные управляющие воздействия  входят линейно. Возмущающие воздействия , ,  являются гауссовскими белыми шумами. Кроме того, используется квадратичный критерий оптимальности управления (3.2.8). Поэтому можно применять теорему разделения [20], [29].

Случайные возмущающие воздействия  и погрешности измерений  являются гауссовскими белыми шумами. Поэтому, как это было доказано в разделе 2.3, оптимальные по критерию МАВ оценки  и  переменных состояния объекта управления  и возмущающих воздействий  формирует ПИД-наблюдатель (2.3.24)-(2.3.27).