Теплоемкость металлов. Теория теплоемкости кристаллической структуры. Теплоемкость электронного газа. Электронная теплопроводность металлов, страница 2

т.е. энергия фонона, поглощение и отдача энергии фононом может принимать только дискретные значения. При температуре абсолютного нуля каждый колеблющийся атом  имеет энергию 0,5hν (энергия нулевых колебаний), которая сохраняется при нагревании тела, но не включается в набор энергий, так как она постоянна и не участвует в теплоемкости тела.

Согласно теории Эйнштейна один моль твердого тела представляется в виде совокупности 3N независимых одномерных осцилляторов. Число колебаний (число элементарных осцилляторов) с энергией nhν подчиняется распределению Больцмана, т.е. пропорционально . Следовательно, чем выше энергия осциллятора, тем их меньше при данной температуре. Из этих условий можно определить среднюю энергию одного колебания

                                                                         (2.7)

Проанализируем предельные значения средней энергии осциллятора. При высокой температуре имеет место соотношение hν << kT , при котором показательная функция в знаменателе (1.7) близка к единице. Разложим ее в ряд Тейлора по степеням

                                                                             (2.8)

Ограничившись двумя первыми членами ряда, получим, что

                                                                                (2.9)

Умножив это выражение на число атомов (N) и число степеней свободы каждого атома равного 3 получим среднюю внутреннюю энергию твердого тела

                                                                              (2.10)

а его теплоемкость

                                                                                     (2.11)    

Полученное соотношение находится в полном согласии с законом Дюлонга-Пти.

При низких температурах, когда hν >> kT, положение меняется. В выражении (2.7) можно пренебречь единицей, тогда средняя энергия осциллятора примет вид

                                                                    (2.12)

Из этого выражения следует, что экспоненциальный множитель в предельном случае оказывается доминирующим, поэтому с понижением температуры теплоемкость стремится к нулю по закону exp[-hν/(kT)]. Температурная зависимость теплоемкости в этом случае будет иметь вид

                                                      (2.13)

В общем случае при любой температуре теплоемкость грамм-моля твердого тела в соответствии с (2.7) принимает выражение

                                               (2.14)

Температура, при которой начинается спад теплоемкости, определяется с помощью выражения

                                                                                       (2.15)

и называется характеристической температурой Эйнштейна. С учетом этого формула (2.14) примет вид

                                                                (2.16)

Теория Эйнштейна качественно правильно отражает экспериментально полученные зависимости теплоемкости от температуры, но не обеспечивает количественного совпадения. Уточнением теории Эйнштейна является теория теплоемкости Дебая. Дебай сохранил основную идею Эйнштейна, но внес следующее принципиальное уточнение. Согласно Дебаю колебание каждого атома не является независимым, они связаны между собой подобно пружинам в матрасе: толкнешь любую из них, а колебаться начинают все.

Колебания сильно взаимодействующих атомов можно представить как совокупность слабо взаимодействующих волн, распространяющихся во всем объеме кристалла. В такой совокупности связанных «маятников» в процессе их колебания будет распространяться множество волн различной длины, при этом каждой волне сопоставляется некоторая фиктивная частица, энергия которой равна  hν. Эту нереальную частицу, или как говорят физики, квазичастицу называют фононом. Фонон представляет как бы сгусток звуковой энергии, так как в твердом теле волна распространяется со скоростью звука.