7) Выбор узлов
интерполирования
Анализ
выражения оценки остаточного члена
интерполяционного полинома Лагранжа показывает, что величина R
n(x) зависит от свойств интерполируемой функции f(x),
поскольку определяется через f
(n+1)(x), выбранной степени n полинома и
сомножителя . Первые два параметра при выбранном n
являются фиксированными, а вот значение зависит от расположения
узлов xi, i Î [a;b] на
интервале [a;b]. Следовательно, возникает вопрос, нельзя ли так
подобрать узлы, чтобы Rn(x), была минимальной для данных f(x), n и [a;b].
Чебышев показал, что , а значит и
R
n(x) будут минимальны, если узлы интерполяции выбирать на
[a;b] в виде:
Определяемые таким образом узлы являются
нулями полиномов Чебышева первого рода.
При
этом и
Узлы, выбранные по Чебышеву
располагаются на [a;b] неравномерно, причем они оказываются сгущены на
концах интервала и, их выбор возможен, если f(x)
задана аналитически. На практике же, как правило, f(x)
задана в табличном виде и с постоянным шагом между узлами. По этому приближенно
узлы по Чебышеву можно выбтрать посредством полинома, полученного путем
аппроксимации табличной f(x) на [a;b], либо, если сетка узлов в таблице достаточно густая,
можно в качестве узлов по Чебышеву брать ближайшие к ним из имеющейся сетки.
Свойства интерполяционных
полиномов позвол яют дать рекомендации к их практическому применению. Так, в
общем случае или если имеется возможность выбора узлов по Чебышеву, рекомендуется
использовать полином Лагранжа, если же сетка узлов равномерная, то первая
формула ньютона интерполирует лучше на левом конце интервала, а вторая на
правом. Минимум погрешности в середине интервала обеспечивают интерполяционные
полиномы Стерлинга и Бесселя, коэффициенты которых выражаются через центральные
разности.
Полином наилучшего
равномерного приближнения.
Основой формирования
интерполяционного полинома является условие совпадения приближаемой функции и
полинома в узлах интерполирования. В остальных же точках интервала возникает
методическая погрешность, величину которой можно лишь попытаться оценить через
остаточный член той или иной интерполяционной формулы.
Сформулируем задачу приближения
непрерывной на [a;b] функции f(x) несколько
иначе.
Требуется отыскать такой
полином:
Который среди прочих полиномов степени n
обеспечивал бы минимальное отклонение на [a;b] от
приближаемой функции в равномерном смысле.
Полином Qn(x), удовлетворяющий условию [1], называется полиномом
наилучшего равномерного приближения.
Теорема(о существовании
полинома наилучшего равномерного приближения)
Чтобы полином Q
n(x) был
полиномом наилучшего равномерного приближения непрерывной на [a;b]
функции f(x), необходимо и достаточно существование на [a;b] по
крайней мере, (n+2) точек x
0<x
1<…<x
n+1 таких,
что
Точки xi , i Î [a;b], в которых выполняется приведенное условие,
называются точками Чебышевского альтернанса.
Существует несколько способов
определения полинома близкого к Qn(x).
