Выбор узлов интерполирования. Приближение сплайнами

7) Выбор узлов интерполирования

Анализ выражения                               оценки остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа показывает, что величина R_n(x) зависит от свойств интерполируемой функции f(x), поскольку определяется через f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), выбранной степени n полинома и сомножителя          . Первые два параметра при выбранном n являются фиксированными, а вот значение          зависит от расположения

узлов x_i, i Î [a;b] на интервале [a;b]. Следовательно, возникает вопрос, нельзя ли так подобрать узлы, чтобы R_n(x), была минимальной для данных f(x), n и [a;b].

Чебышев показал, что          , а значит и R_n(x) будут минимальны, если узлы интерполяции выбирать на [a;b] в виде:

Определяемые таким образом узлы являются нулями полиномов Чебышева первого рода.

При этом                           и 

Узлы, выбранные по Чебышеву располагаются на [a;b] неравномерно, причем они оказываются сгущены на концах интервала и, их выбор возможен, если f(x) задана аналитически. На практике же, как правило, f(x) задана в табличном виде и с постоянным шагом между узлами. По этому приближенно узлы по Чебышеву можно выбтрать посредством полинома, полученного путем аппроксимации табличной f(x) на [a;b], либо, если сетка узлов в таблице достаточно густая, можно в качестве узлов по Чебышеву брать ближайшие к ним из имеющейся сетки.

Свойства интерполяционных полиномов позвол яют дать рекомендации к их практическому применению. Так, в общем случае или если имеется возможность выбора узлов по Чебышеву, рекомендуется использовать полином Лагранжа, если же сетка узлов равномерная, то первая формула ньютона интерполирует лучше на левом конце интервала, а вторая на правом. Минимум погрешности в середине интервала обеспечивают интерполяционные полиномы Стерлинга и Бесселя, коэффициенты которых выражаются через центральные разности.

Полином наилучшего равномерного приближнения.

Основой формирования интерполяционного полинома является условие совпадения приближаемой функции и полинома в узлах интерполирования. В остальных же точках интервала возникает методическая погрешность, величину которой можно лишь попытаться оценить через остаточный член той или иной интерполяционной формулы.

Сформулируем задачу приближения непрерывной на [a;b] функции f(x) несколько иначе.

Требуется отыскать такой полином:

[1]

Который среди прочих полиномов степени n обеспечивал бы минимальное отклонение на [a;b] от приближаемой функции в равномерном смысле.

Полином Q_n(x), удовлетворяющий условию [1],  называется полиномом наилучшего равномерного приближения.

Теорема(о существовании полинома наилучшего равномерного приближения)

Чтобы полином Q_n(x) был полиномом наилучшего равномерного приближения непрерывной на [a;b] функции f(x), необходимо и достаточно существование на [a;b] по крайней мере, (n+2) точек x₀<x₁<…<x_n+1 таких, что

Точки x_i , i Î [a;b], в которых выполняется приведенное условие, называются точками Чебышевского альтернанса.

Существует несколько способов определения полинома близкого к Q_n(x).