Решение системы линейных алгебраических уравнений

МОиН РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Лабораторная работа №3

по Вычислительной математике

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Выполнили:                                                               Преподаватель:

Ильин М.Э.                                                                         Чикильдин Г.П.  

Аникин А.С.                                                                      

Кайгородов Ю.В.

Новосибирск, 2004

Цель работы:

Практика использования итерационных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Сравнительный анализ методов.

Постановка задачи:

Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ax=b,  ,    итерационными методами Зейделя и наискорейшего спуска с точностью .     Для сравнения с истинными значениями корней выполнить решение САУ методом Гаусса.

Алгоритмы в общем виде:

Ax=b,  ,   

Метод Зейделя:x_i[0]=x_i0 , i[1,n],

X_i [k+1]={b_i- , где  - i-я компонента вектора x на k-й итерации, x_i0, i[1,n]- начальные условия, которые рекомендуется задавить в виде                  x_i [0]= , i[1,n].

Метод Зейделя будет сходится к единственному решению при выполнении условия

, , i[1,n], , j[1,n].

Метод наибольшего спуска

x_i[0]=x_i0 , i[1,n], x_i [k+1]= x_i [k]+α_i [k] g_i [k], k=0,1,2,...,

g_i [k]=b_i- ,  α[k]=, d[k]= , c[k]=  где  - i-я компонента вектора x на k-й итерации, x_i0, i[1,n]- начальные условия, которые рекомендуется задавить в виде  x_i [0]=0, i[1,n].

Метод наискорейшего спуска сходится к единственному решению, если матрица А – симметрическая, положительно определенная.

В общем случае для неособенной матрицы А можно предусмотреть условие сходимости метода путем первой трансформации Гаусса исходной САУ

A^TAx=A^Tb, где  матрица A^TA – симметрическая, положительно определенная.

Листинг 1. Программа

Laba3.for

      integer i,n,k,k1

      real a(5,5),b(5),e,g(5),x(5),summ, x2(5),x3(5), xbet(5)

      real summbet, gbet(5), max2, max3, a2(5,5)

      real at(5,5), u(5,5), v(5)

      data a /0.380, 0.052, 0.030, 0.060, 0.250,

     *        -0.050, 0.595, 0.000, 0.126, 0.000,

     *        0.010, 0.000, 0.478, 0.000, 0.090,

     *        0.020,  -0.040, -0.140, 0.470, 0.010,

     *        0.070,  0.040,  0.080,  -0.020, 0.560/

      data b /-2.140, 1.833, 1.736, -1.242, 1.440/

      data x /0,0,0,0,0/

      e=0.0001

      n=5

      summ=0

      summbet=0

      k1=0

      data g /0,0,0,0,0/

      data gbet /0,0,0,0,0/

      do 110 i=1,5

  110 xbet(i)=b(i)/a(i,i)

      call n1ygau(a,b,x3,n)

      write (5,40) k, x3(1),x3(2), x3(3),x3(4), x3(5)

      do 100 k=0,15

  102 write (2,40) k1, x(1), x(2), x(3), x(4), x(5)

      write (3,40) k1, g(1), g(2), g(3), g(4), g(5)

      write (8, 41) k1, x3(1), x(1), xbet(1)

   41 format (i4, 2x, f11.4, 2x, f11.4, 2x, f11.4)

      write (7,49) max2

      write (21,40) k1, xbet(1), xbet(2), xbet(3), xbet(4), xbet(5)

      write (4,40) k1, x2(1), x2(2), x2(3), x2(4), x2(5)

   40 format (i4, 2x, f11.4,2x,f11.4,2x,f11.4, 2x,f11.4,2x,f11.4)

      call n1ymgs(a,b,n,gbet,xbet)

      call n1ymgs(a,b,n,g,x)

      call n1ymns(a,b,n,g,x2)

      do 200 i=1,n

      summ=0.0

      summbet=0.0

      do 300 j=1,n

      summ=summ+a(i,j)*x(j)

  300 summbet=summbet+a(i,j)*xbet(j)

      g(i)=b(i)-summ

  200 gbet(i)=b(i)-summbet

      call findmax(g,n,max2)

      max2=abs(max2)

   49 format (5x, f9.4)

      k1=k1+1

      if (max2.le.e) GOTO 101

      GOTO 102

  100 continue

  101 do 201 i=1,5

      do 202 j=1,5

  202 a2(i,j)=a(i,j)

  201 n=n

      call n1ytga(a2,b,n,at,u,v)

      do 301 i=1,5

      write (19,6) (u(i,j), j=1,5)

  301 n=n

    6 format (5(1x, f9.5))

C     write (8,7) (v(i), i=1,5)

    7 format (2x, 5(2x,f9.5))

      stop

      end

      integer i,n,k,k1

      real a(5,5),b(5),e,g(5),x(5),summ, x2(5),x3(5), xbet(5)

      real summbet, gbet(5), max2, max3, a2(5,5)

      real at(5,5), u(5,5), v(5)

      data a /0.380, 0.052, 0.030, 0.060, 0.250,

     *        -0.050, 0.595, 0.000, 0.126, 0.000,

     *        0.010, 0.000, 0.478, 0.000, 0.090,

     *        0.020,  -0.040, -0.140, 0.470, 0.010,

     *        0.070,  0.040,  0.080,  -0.020, 0.560/

      data b /-2.140, 1.833, 1.736, -1.242, 1.440/

      data x /0,0,0,0,0/

      e=0.0001

      n=5

      summ=0

      summbet=0

      k1=0

      data g /0,0,0,0,0/

      data gbet /0,0,0,0,0/

      do 110 i=1,5

  110 xbet(i)=b(i)/a(i,i)

      call n1ygau(a,b,x3,n)

      write (5,40) k, x3(1),x3(2), x3(3),x3(4), x3(5)

      do 100 k=0,15