Циклический алгоритм исследования. Типы измерений и характер ошибок в них. Обработка и анализ экспериментальных данных, страница 5

если соединить отрезками прямых середины верхних сторон прямоугольников.

 

                                                           x 

3.       Аналитически (в виде формулы)

Cуществует два аналитических способа выражения закона распределения случайных величин, а именно, две функции распределения вероятностей:  интегральная и дифференциальная.

(1) Интегральная функция распределения F(x) случайных величин Х показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения х, т.е.

F(x) = P{Х≤х}

Через P «большое» обозначают оператор вероятности, через р «малое» – конкретная величине вероятности.

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины Х заключено между Х₁ и Х₂ равна разности значений функций распределения, вычисленных в этих двух точках.

P{x₁<Х≤x₂}=F(x₂)-F(x₁)

Основные свойства интегральной функции распределения:

F(x)≥0 для всех Х

(2) Дифференциальная функция распределения вероятностей, которую иначе еще называют функцией плотности распределения вероятностей и обозначает f(x )

C помощью дифференциальной функции легко определяется вероятность нахождения случайной величины  в любой области из множества ее возможных значений.       

Основные свойства дифференциальной функции распределения:

                                                                      3. f(x)≥0

Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако основные свойства случайных величин могут быть описаны более просто с помощью отдельных числовых параметров. Наиболее важными из них являются математическое ожидание М(х) (теоретическая средняя) и дисперсия D(x):

1. Центр распределения или иначе центр группирования вокруг которого сосредоточено все распределение характеризуется математическим ожиданием М(х) случайной величины х :

Математическое ожидание часто ещё называют генеральным средним значением или теоретическим средним.

2. Степень рассеяния случайной величины х относительно её математического ожидания М(х) характеризуется с помощью генеральной дисперсии  s_x².

Квадратный корень из дисперсии s_x² называется средним квадратическим отклонением s_x.

Физический смысл средне квадратического отклонения: он показывает насколько тесно группируются  значения Х вокруг среднего (или математического ожидания).

Дисперсию еще иначе можно записать как центральный момент второго порядка.

D(x)=m₂=M([x-M(x)]²)

Важными характеристиками распределения так же являются центральные моменты третьего и четвертого порядка. Это асиметрия и эксцесс соответственно.

3. Асиметрия  случайной величины Х—центрального момента третьего порядка

m₃₌M([x-M(x)]³)

Чаще используют нормированный коэффициент асиметрии a₃:

a₃=m₃/s³

Асиметрия характеризует степень симметричности графика плотности распределения случайной величины относительно среднего значения М(х).

m₃>0                                                   m₃<0                                m₃=0

f(x)                                 f(x)                                 f(x)

 

       m_{x                               X}                                                    m_{x    X}                               m_{x                  X}

4. Эксцесс - ценральный момент четвёртого порядка:

m₄₌M([x-M(x)]⁴)

Aналогично aсиметрии, чаще используют коеффициент эксцессa a₄:

a₄=m₄/s⁴

Эксцесс - количественная характеристика островершинности.

Островершиннные распределения имеют положительный эксцесс (рис а).

m₄>0                                          m₄<0

          f(x)                                           f(x)   

 

                      m_{x                    X}                                                    m_{x                      X}