Пусть из n испытаний событие A наступило m раз. Требуется определить вероятность наступления события A.
Учитывая смысл данного опыта и аксиомы Колмогорова, приходим к выводу о том, что вероятность наступления события A P(A) = p будет принадлежать промежутку от нуля до единицы: 0 P(A) 1.
Метод максимального правдоподобия.
Идея метода максимального правдоподобия состоит в том, что вероятность события A предполагается таковой, что из n испытаний событие A скорее всего наступит фактически наблюдавшееся число раз (т.е. m), т.о. вероятность наступления события Pn(m|P(A)=p)®max.
Вероятность того, что событие A наступит m раз из n испытаний Pn(m) определяется по формуле Бернулли:
.
В точке максимума производная функции (а функция )
Вероятность наступления события А будем обозначать P(A)= p.
Тогда
- постоянная и, следовательно, может быть сокращена. Поэтому
Заметим, что значение функции не может быть
Получаем, что
Что равносильно или .
Т.е. . Так выглядит оценка вероятности наступления события А методом максимального правдоподобия, если это событие наступило m раз из n испытаний.
Метод наименьших квадратов.
g(A)-вероятность наступления события A в i-м испытании. Если событие A наступило в i-м испытании, то оно является достоверным и gi(A)=1, а если собыите A не наступило в i-м испытании, то оно является невозможным, его вероятность gi(A)=0.
Введем величину .
Cуть метода наименьших квадратов в том, что сумма квадратов разностей gi(A) и P(A) для всех испытыний является наименьшей, т.е..
Используем свойство квадрата разности: .
Учитывая, что P(A)- величина постоянная и то, что g2 i (A)= gi(A) (12=1,02=0) , получаем :
По смыслу введенной величины gi(A) , тогда .
В точке минимума производная данной функции по dP(A) равна нулю.
Отсюда . Так выглядит оценка вероятности наступления события А методом наименьших квадратов, если это событие наступило m раз из n испытаний. Заметим, что она совпадает с оценкой вероятности наступления события А методом максимального правдоподобия.
Метод наименьших сумм
g(A)-вероятность наступления события A в i-м испытании. Если событие A наступило в i-м испытании, то оно является достоверным и gi(A)=1, а если собыите A не наступило в i-м испытании, то оно является невозможным, его вероятность gi(A)=0.
Введем величину .
Смысл метода наименьших сумм в том, что сумма разностей gi(A) и P(A) для всех испытыний является наименьшей, т.е..
Заметим, что величина gi(A)=1 наблюдается mраз, eсли событие Aпроизошло m раз из n а gi(A)=0 наблюдается во всех остальных случаях, т.е m−n раз.
Поэтому .
Или ,
что равносильно (здесь p=P(A)).
Введем величину q=(1-p) − вероятность того, что событие A не произошло в конкретном испытании и величину − количество испытаний, в которых событие A не произошло: .
Проанализируем данное выражение графически:
Если , то из графика на рис.1 видно, что , когда p=1:
Какой рисунок лучше оставить ?
Если , то из графика на рис.2 видно, что , когда p=0:
Или?
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.