Разложение функции в ряд Лорана в областях

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

      3) 0<|z-4|<9.

Решение. Корнями уравнения z²-z-20=0 являются числа z₁=5 и z₂=-4. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=5 получим 9A=6, т.е. А= 2/3.  Если z=-4, то -9B=-3, т.е. В=1/3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=-4/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно,

3)  

Ответ. 1).      в кольце .

             2).     в кольце .

             3).      в кольце 0<|z+4|<9.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

   3) 1<|z-4|.

Решение. Корнями уравнения z²-9z+20=0 являются числа z₁=5 и z₂=4. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=5 получим A=7.  Если положить z=4, то получим В=-6. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=4/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно,

3)

Ответ. 1).      в кольце .

             2).     в кольце .

             3)  в кольце 1<|z-4|.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

  3) 8<|z+3|.

Решение. Корнями уравнения z²-2z-15=0 являются числа z₁=5 и z₂=-3. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=5 получим A=1/4.  Если положить z=-3, то получим В=3/4. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=-3/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3) 

Ответ. 1).   в кольце .

             2). в кольце .

             3)  в кольце 8<|z+3|.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

     3) 0<|z-5|<2.

Решение. Корнями уравнения z²-8z+15=0 являются числа z₁=5 и z₂=3. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=5 получим A=1/2.  Если положить z=3, то получим В=1/2. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=3/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)

Ответ. 1).   в кольце .

             2). в кольце .

             3)   в кольце 0<|z-5|<2.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

 3) 7<|z+2|;

Решение. Корнями уравнения z²-3z-10=0 являются числа z₁=5 и z₂=-2. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=5 получим A=4/7.  Если положить z=-2, то получим В=3/7. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=-2/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3) 7<|z+2|;  в кольце 7<|z+2|;

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

             3)  в кольце 7<|z+2|;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

      3) 2<|z-5|.

Решение. Корнями уравнения z²-7z+10=0 являются числа z₁=5 и z₂=2. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=5 получим A=-1/3.  Если положить z=2, то получим В=4/3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/5, во второй дроби q=2/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3) 2<|z-5|; 

 

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

             3)  в кольце 2<|z-5|.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

    3) 0<|z-4|<1.

Решение. Корнями уравнения z²-7z+10=0 являются числа z₁=4 и z₂=3. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=4 получим A=3.  Если положить z=3, то получим В=2. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=3/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

             3)  в кольце 0<|z-4|<1.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

  3) 0<|z+3|;

Решение. Корнями уравнения z²-z-12=0 являются числа z₁=4 и z₂=-3. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=4 получим A=2/7.  Если положить z=-3, то получим

 В=5/7. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=-3/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно,

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

            3)  в кольце 0<|z+3|<7;