Математика \ Теория функций комплексного переменного

Разложение функции в ряд Лорана в областях, страница 2

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

3) 0<|z-4|<6;

Решение. Корнями уравнения z²-2z-8=0 являются числа z₁=4 и z₂=-2. Разложим эту дробь на простые дроби: Или . При z=4 получим A=1/6. Если положить z=-2, то получим

В=5/6. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=-2/z. Следовательно,

2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .

в)

Ответ. 1). в кольце .

2). в кольце .

3) в кольце 0<|z-4|<6;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

3) 0<|z-2|<2;

Решение. Корнями уравнения z²-6z+8=0 являются числа z₁=4 и z₂=2. Разложим эту дробь на простые дроби: Или . При z=4 получим A=4. Если положить z=2, то получим

В=-3. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=2/z. Следовательно,

2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

2). в кольце .

3) в кольце 0<|z-2|<2;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

3) 0<|z+1|<5;

Решение. Корнями уравнения z²-3z-4=0 являются числа z₁=4 и z₂=-1. Разложим эту дробь на простые дроби: Или . При z=4 получим A=9/5. Если положить z=-1, то получим В=-4/5. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=-1/z. Следовательно, 2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .

3) 0<|z+1|<5;

Ответ. 1). в кольце .

2). в кольце .

3) в кольце 0<|z+1|<5;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²-5z+4=0 являются числа z₁=1 и z₂=4. Разложим эту дробь на простые дроби: Или . При z=4 получим A=-2/3. Если положить z=1, то получим В=5/3. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=1/z. Следовательно, 2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

2). в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

3) 5<|z+3|;

Решение. Корнями уравнения z²-5z+4=0 являются числа z₁=2 и z₂=-3. Разложим эту дробь на простые дроби: Или . При z=2 получим A=3/5. Если положить z=-3, то получим В=2/5. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=2/z, во второй дроби q=-z/3. Следовательно, 2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .