Разложение функции в ряд Лорана в областях, страница 3

дробь на простые дроби:  Или .  При z=-2 получим A=-4.  Если положить z=-3, то получим В=5. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-2/z, во второй дроби q= -z/3. Следовательно,     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце

             3)  в кольце 1<|z+2|.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

         3) 2<|z+3|.

Решение. Корнями уравнения z²+4z+3=0 являются числа z₁=-1 и z₂=-3. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=-1 получим A=3/2. Если положить z=-3, то получим В=-1/2. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-1/z, во второй дроби q= -z/3. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

           3)  в кольце 2<|z+3|;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

     3) 0<|z+5|<9;

Решение. Корнями уравнения z²+z-20=0 являются числа z₁=4 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=4 получим A=1/3. Если положить z=-5, то получим В=2/3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=4/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)

Ответ. 1).  в кольце .

             2).  в кольце .

             3)  в кольце 0<|z+5|<9.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

         3) 1<|z+5|.

Решение. Корнями уравнения z²+9z+20=0 являются числа z₁=-4 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=-4 получим A=-6. Если положить z=-5, то получим В=7. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-4/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно,

3)

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

                 3) в кольце 1<|z+5|.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+2z-15=0 являются числа z₁=3 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=3 получим A=1/8. Если положить z=-5, то получим В=7/8. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=3/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+8z+15=0 являются числа z₁=-3 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=-3 получим A=-7/2. Если положить z=-5, то получим

В=9/2. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-3/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .