Основы математической статистики: Методические указания к расчетному заданию по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 4

          Критерий nw² основан на рассмотрении отклонений статистической функции распределения для каждого члена выборки  z₁, z₂,…z_nz от соответствующих значений гипотетической функции распределения. Поэтому этот критерий лишен того недостатка критерия Пирсона, который связан с произвольным  разбиением  исходной  статистической  информации  на интервалы.

Сама же группировка информации при использовании критерия Пирсона связана с некоторой потерей исходной информации.

          За меру отклонения при использовании критерия nw² принимается следующая величина:

.     (3.18)

Выражение (3.18) можно использовать, если  известна. Однако при проверке гипотезы о нормальности закона распределения используются оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Z, определенной из той же выборки Z^*. Поэтому использование выражения (3.18) для определения меры nw² – некорректно. Можно предложить следующий способ более корректного применения критерия nw² при решении поставленной задачи:

– оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности определяются на основе выборки X^*:  и ;

– эмпирические функции распределения генеральной совокупности определяются на основе выборки Y^*:  и  .

Тогда

. (3.19)

При проверке гипотезы о нормальности закона распределения генеральной совокупности Z^* выражение (3.19) представляется в виде

.               (3.20)

Следует отметить, что реализации Y при использовании выражения (3.20) должны быть представлены в виде вариационного ряда .

Зависимость уровня значимости правдоподобия гипотезы о виде закона распределения от величины рассчитанного критерия u = nw² приведена на рис. 3.2.

nw²

Рис. 3.2.  Зависимость  q  от  nw²

3.4. Статистика системы случайных величин Х  и Y

3.4.1. Точечные оценки числовых характеристик системы

          При выполнении этого пункта задания исходные выборки  Х^* и Y^* рассматриваются как выборки объема n_x = n_y = n из генеральных совокупностей Х и Y, образующих систему случайных величин. Требуется определить статистические оценки  и статистическую оценку коэффициента корреляции r_xy.

          Для решения этих задач следует составить корреляционную таблицу, примерный вид которой приводится в табл. 3.2.

Т а б л и ц а   3.2

Корреляционная таблица

x y		x1…x2	x2…x3	. . .	xi…xi+1		xk…xk+1
y1…y2		m11	m12		m1i		m1k
y2…y3		m21	m22		m2i		m2k
. . .
yj…yj+1		mj1	mj2		mji		mjk
. . .
yl…yl+1		ml1	ml2		mli		mlk

          Примечания:

1.  и  – средние значения величин для соответствующих интервалов

          .

2. .

          Введем обозначения:    .

Тогда числовые характеристики системы Х^* и Y^* определятся как

                    (3.21)

 – статистическая оценка коэффициента корреляции.

  Статистическая оценка корреляционного момента  определяется как

.                            (3.22)

3.4.2. Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной связи

между случайными величинами  X  и  Y

          Если в результате проведенной серии испытаний получено некоторое значение статистического коэффициента корреляции между случайными величинами, отличное от нуля, то это еще не означает, что корреляционная связь действительно существует.

          Для оценки уровня значимости правдоподобия гипотезы об отсутствии корреляционной связи перейдем от статистики выборочного значения коэффициента корреляции R_XY к статистике Т [2]:

                                                  .