(9.33)
при любом , если
;
если же
, то неравенство (9.33) выполняется при
. (9.34)
Вторые слагаемые удовлетворяют неравенству
, (9.35)
если
. (9.36)
Таким образом, при
достаточно больших значениях и
, удовлетворяющих условиям (9.34) и (9.36),
выполняются оба неравенства, (9.33) и (9.35), а при этом модуль числителя в
(9.32) наверняка будет меньше модуля знаменателя, то есть будет выполняться
условие эффективности управления (
). Более того, при
дальнейшем увеличении коэффициента усиления величина
будет
монотонно убывать, стремясь к нулю; при этом будет стремиться к нулю величина
амплитуды динамической ошибки по скорости.
Условия устойчивости замкнутой системы. Казалось бы, увеличивая коэффициенты усиления системы обратной связи, можно обеспечить сколь угодно высокую точность выполнения программного движения. В действительности возможности повышения точности ограничены рядом причин, главной из которых является необходимость обеспечения устойчивости замкнутой системы. Для исследования устойчивости рассматриваемой системы обратимся к уравнению (9.27). Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы характеристическое уравнение
. (9.37)
имело все корни с отрицательными вещественными частями. Для этого все
коэффициенты этого уравнения должны быть положительными, что выполняется, если ;
, а
также должно выполняться условие Гурвица для уравнения третьей степени,
которое в рассматриваемом случае принимает форму
. (9.38)
Обозначив ;
,
приводим условие (9.38) к виду
.
На рис. 9.4
представлены области устойчивости системы на плоскости параметров ,
,
соответствующие различным величинам
. Чем больше постоянная
времени двигателя
, тем меньше область допустимых
значений
и
, а
следовательно, и коэффициентов усиления
и
.
Таким образом,
увеличение коэффициентов усиления системы обратной связи может приводить к
неустойчивости замкнутой системы. Отрицательная обратная связь, которая по
принципу действия должна была бы вызывать уменьшение динамической ошибки, в
действительности оказывается причиной ее неограниченного увеличения. Не
прибегая к подробному описанию всех процессов, возникающих в замкнутой системе,
отметим только, что по существу неустойчивость вызывается инерционностью двигателя, характеристикой
которой является его постоянная времени . Эта
инерционность приводит к смещению по фазе колебательного момента двигателя по
отношению к той колебательной компоненте переходного процесса, которую он должен
демпфировать. В результате момент двигателя, возбужденный сигналом обратной
связи, вместо демпфирующего становится раскачивающим. Чем больше величина
, тем сильнее сказывается это
обстоятельство.
Следует отметить, что
инерционностью обладают и другие элементы системы управления. Так, например,
сигнал на входе регулятора связан с динамической
ошибкой
более сложной зависимостью, чем та, что
описана выражением (9.25). В первом приближении динамические процессы,
происходящие в регуляторе, описываются уравнением вида
, (9.39)
где – постоянная времени регулятора.
Обычно «запаздывание» в регуляторе мало (
), так
что при малых коэффициентах усиления им можно пренебречь. Однако с увеличением
и
влияние
малой постоянной
на устойчивость системы
становится существенным.
Вообще, чем больше коэффициенты усиления цепи обратной связи, тем более точной должна быть динамическая модель системы. В частности, это относится к учету упругости звеньев механической системы. Этот учет становится необходимым в системах управления движением прецизионных машин, в которых программные движения должны выполняться с высокой точностью.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.