Изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Страницы работы

Содержание работы

10.  Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

  10. 1    Цель работы

Целью данной работы является изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

Также рассмотрены модификации метода Эйлера.

  10.2   Задание

Таблица 10.1

ОДУ

Точное  решение

a

b

Δdop

1

0.2

1.6

0.05

2

0.2

4

0.5

3

0.5

3

0.9

4

1

4

0.01

5

0

2

0.02

6

1

3

0.02

7

0

2

0.015

8

0.5

4

0.003

9

0.5

4

0.07

  10.3  Теоретические сведения

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения включают соотношения между искомыми функциями и их производными.

Определение : Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).

ОДУ  1 – го порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть записано в виде                     

                                          (1)

Решить (или проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Решением (или интегралом) уравнения (1) называется всякая дифференцируемая функция y = j(x) ,   удовлетворяющая этому  уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение (1) оно обращается в тождество. График решения ОДУ называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее решение ОДУ может быть записано в виде

y = j(x)+const ,                                          (2)

Частным решением ОДУ называется всякое решение, полученное из общего при определенных значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение. Произвольные постоянные  определяются из заранее заданных условий. Условия могут быть начальными или граничными.

Постановка соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка

                                                 у' (x)=f (y(x),x)                                       (4)

и  одно начальное условие    при x=x0y(x0)=y0                                        (5)

Требуется  определить функцию y(x) на интервале от x0  до b  .

Приближенные  методы решение ОДУ можно разделить на две группы:

-  аналитические методы, дающие приближенное решение в виде аналитического выражения;

-  численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Метод Эйлера относится к численным методам решения ОДУ.

Метод Эйлера.

.

Пусть дано ОДУ первого порядка                                

 с начальным условием                                        

Требуется найти решение на отрезке [a , b] .

Семейство интегральных кривых       

( сплошная и пунктирные линии) представляет общее решение дифференциального  уравнения.

Разобьем отрезок  [a,b] на  n  равных частей, получим последовательность узлов  x0, x1, . . . , xn , где  xi = x0 +i×h (i=0,1,…,n), а  - шаг интегрирования. Точное решение (сплошная линия) в соответствии с начальными условиями проходит через точку А0 с координатами (x0,y0). Заменим точное решение y =j(x) касательной к интегральной кривой в точке А0 при x=x0  (рис.10.1)

При x=x1  получим точку А1  с ординатой  y1=y0+h×tga0. Но tga0=y’(x0) и, учитывая (4), получим  y1=y0+h×f(x0,y0), где f(x0, y0) - функция, характеризующая наклон касательной в точке А0. Выполнив аналогичную процедуру в точке А1, найдем ординату точки А2

y2=y1+h×f(x1, y1).

В общем случае дляi-ой точки можно записать      yi+1=yi+h× f(xi ,yi ).          Глобальная (суммарная) ошибка в конце отрезка [a, b]  будет О(h),

Первый   модифицированный  метод  Эйлера.

Сначала на каждом  i -ом шаге, как и в методе Эйлера, используя наклон касательной в точке  Ai (х=xi),  вычисляют промежуточное значение yi+1/2 , но не на всей длине шага h , а на его половине  в средней точке Ac  (х=xi+1/2)  каждого интервала [xi , xi+1] (Рис.10.2.):

Затем находят направление касательной  fi+1/2  в середине интервала в точке Ac   (х=xi+1/2=xi+h/2) : 

Это направление и принимают за окончательное при вычислении ординаты точки Ai+1 на всем интервале h от точки Ai:                 

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для  вычисления ординаты точки Ai+1:             

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
220 Kb
Скачали:
0