Изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

10.  Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

  10. 1    Цель работы

Целью данной работы является изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

Также рассмотрены модификации метода Эйлера.

  10.2   Задание

Таблица 10.1

  10.3  Теоретические сведения

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения включают соотношения между искомыми функциями и их производными.

Определение : Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).

ОДУ  1 – го порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть записано в виде                     

                                          (1)

Решить (или проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Решением (или интегралом) уравнения (1) называется всякая дифференцируемая функция y = j(x) ,   удовлетворяющая этому  уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение (1) оно обращается в тождество. График решения ОДУ называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее решение ОДУ может быть записано в виде

y = j(x)+const ,                                          (2)

Частным решением ОДУ называется всякое решение, полученное из общего при определенных значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение. Произвольные постоянные  определяются из заранее заданных условий. Условия могут быть начальными или граничными.

Постановка соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка

                                                 у' (x)=f (y(x),x)                                       (4)

и  одно начальное условие    при x=x₀y(x₀)=y₀                                        (5)

Требуется  определить функцию y(x) на интервале от x₀  до b  .

Приближенные  методы решение ОДУ можно разделить на две группы:

-  аналитические методы, дающие приближенное решение в виде аналитического выражения;

-  численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Метод Эйлера относится к численным методам решения ОДУ.

Метод Эйлера.

.

Пусть дано ОДУ первого порядка                                

 с начальным условием                                        

Требуется найти решение на отрезке [a , b] .

Разобьем отрезок  [a,b] на  n  равных частей, получим последовательность узлов  x₀, x₁, . . . , x_n , где  x_i = x₀ +i×h (i=0,1,…,n), а  - шаг интегрирования. Точное решение (сплошная линия) в соответствии с начальными условиями проходит через точку А₀ с координатами (x₀,y₀). Заменим точное решение y =j(x) касательной к интегральной кривой в точке А₀ при x=x₀  (рис.10.1)

При x=x₁  получим точку А₁  с ординатой  y₁=y₀+h×tga₀. Но tga₀=y’(x₀) и, учитывая (4), получим  y₁=y₀+h×f(x₀,y₀), где f(x₀, y₀) - функция, характеризующая наклон касательной в точке А₀. Выполнив аналогичную процедуру в точке А₁, найдем ординату точки А₂ : 

y₂=y₁+h×f(x₁, y₁).

В общем случае дляi-ой точки можно записать      y_i+1=y_i+h× f(x_i ,y_i ).          Глобальная (суммарная) ошибка в конце отрезка [a, b]  будет О(h),

Первый   модифицированный  метод  Эйлера.

Сначала на каждом  i -ом шаге, как и в методе Эйлера, используя наклон касательной в точке  A_i (х=x_i),  вычисляют промежуточное значение y_i+1/2 , но не на всей длине шага h , а на его половине  в средней точке A_c  (х=x_i+1/2)  каждого интервала [x_i , x_i+1] (Рис.10.2.):

Это направление и принимают за окончательное при вычислении ординаты точки A_i+1 на всем интервале h от точки A_i:                 

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для  вычисления ординаты точки A_i+1: