Изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, страница 2

На рис.10.2  точка  E  при х= x_i+1  была бы получена методом Эйлера, в этом методе будет получена точка A_i+1.

Второй модифицированный метод Эйлера

Этот метод иногда называют методом Эйлера с пересчетом.

Сначала определяют значение ординаты y_E в точке E как и в методе Эйлера  (Рис.10.3.):       y_E=y_i+h×f(x_i, y_i).

В точке E вычисляют направление проходящей через нее интегральной кривой                  f_E=f(x_i+1,y_E).

В качестве окончательного значения направления кривой на всем отрезке h принимают среднее арифметическое значение от направлений f(x_i , y_i) и f_E , т.е. ординату точки A_i+1, которую вычисляют

 по формуле              .

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки Ai+1:

.      

Локальная погрешность обоих модифицированных методов О(h³) , глобальная - О(h²) .

10.4  Пример  выполнения работы

Дано ОДУ 1-го порядка   на [0,4] , Δdop=0.04.

Точное решение данного ОДУ    y(x)=exp(x²∕4)

1. Вычисление общих параметров

3. 1-й  модифицированный метод Эйлера

 Повторяем вычисления

Полученные значения погрешностей численного решения достаточно велики.

Для  уменьшения погрешности вычисления решения ОДУ необходимо изменить величину шага h. При n=2n dеличина   все равно велика.Путем эмпирических поисков получим, что нам необходимо разбивать отрезок на 256 частей, тогда 

5. Построение графиков полученных решений

Построим графики точного и численных решений (рис.10.4) и график абсолютных погрешностей (рис.10.5)

                Рис.10.4                                                      Рис.10.5

Графики показывают, что рассматриваемые численные методы  возможно применять на небольших участках интегрирования ОДУ.

          Вывод: для данной функции использованные в работе численные

методы при выбранной начальной величине шага интегрирования на конце промежутка [a,b] дают большое отклонение от  точного решения, поэтому  необходимо шаг интегрирования выбирать значительно меньше единицы. Метод Эйлера пригоден для получения только двух или трех первых значений решения ОДУ с последующим применением других более точных численных  методов.

10.5  Содержание отчета

1.  Титульная страница с названием работы.

2.  Задание.

3.  Назначение работы и краткие теоретические сведения.

4.  Определить наименьшее число n, при котором мах(dM1)<Δdop

5.  Построить график полученных приближенных и точного решения ОДУ.

6.  Построить график распределения абсолютных погрешностей для рассмотренных методов.

7.  Выводы.

10.6  Контрольные вопросы

1.Классификация методов решения ОДУ.

2.Формулировка задачи Коши для ОДУ первого порядка.

3. Графическая интерпретация метода Эйлера и модификаций метода Эйлера. Их различия.

4.Локальная и глобальная ошибка рассмотренных методов.

5.Способ повышения точности численного решения ОДУ методом Эйлера.

10.7    Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики.- Москва, Наука,1970 г.-664 с.

2. Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах.-М.,Наука,1972 г.-368 с.

3. Шапорев С.Д., Методы вычислительной математики их приложения-СПб, СМИО Пресс,2003 г.,-232с.

4. Кирьянов Д.В., самоучитель Mathcad 11.-СПб,БХВ Петербург,2003 г.-560 с.