Линейные операторы и функционалы. Часть 1, страница 3

В R_n любой линейный функционал имеет вид , где
= (х₁, х₂, …, х_п) – аргумент функционала,  = (а₁, а₂, …, а_п) – фиксированный вектор из R_n. Линейность данного функционала вытекает из аксиом ЛП.

В С [a, b]  примером линейного функционала может служить интеграл вида , называемый в задачах обработки сигналов корреляционным интегралом, где x(t) является аргументом, а s(t) – фиксированной функцией, т.е., как уже отмечалось, скалярное произведение при фиксированном втором сомножителе по отношению к первому является линейным функционалом.

Очень важным является линейный функционал, для которого , где  – функция, равная нулю всюду, кроме точки t = t₀,
t Î(a, b), и принимающая в  t₀ бесконечно большое значение. При этом . Функция  называется дельта-функцией Дирака и более подробно будет рассмотрена ниже.

Рассмотрим геометрический смысл линейного функционала. Выберем для наглядности в качестве ЛП R₃ – трехмерное арифметическое пространство. Линейный функционал в R₃  задает плоскость, определяемую уравнением , где  = (а₁, а₂, а₃) – фиксированный вектор. Каждому вектору  соответствует точка на этой плоскости. Для произвольного ЛП линейный функционал задает гиперплоскость.

Выпуклые множества и выпуклые функционалы.

Понятие выпуклости лежит в основе многих разделов теории ЛП. Оно является ключевым при решении многих задач оптимизации (выпуклое программирование)*.

Пусть L – некоторое ЛП. Подпространство M Ì L  называется выпуклым, если для  все вектора вида , где , также принадлежат М. Геометрический смысл этого определения ясен из рис. 5.1, на котором приведены выпуклое а) и невыпуклое б) подпространства в R₂ (на плоскости).

Для С [a, b]  множество функций, удовлетворяющих условию | f(t)| £ 1, выпукло, так как если | f(t)| £ 1 и | g(t)| £ 1, то

.

Для произвольного множества A Ì L существует наименьшее выпуклое множество, которое содержит А. Оно называется выпуклой оболочкой множества А. На рис. 5.2 пунктиром показана оболочка множества А.

Важным примером выпуклой оболочки является
п-мерный симплекс, который определяется следующим образом. Симплекс с вершинами ₁, ₂, …, _{п + 1} есть совокупность всех точек, представимых в виде

.

При этом вектора ₂ – ₁, ₃ – ₁, …, _{п + 1} – ₁ должны быть линейно независимы. В R_n  нуль-мерный симплекс – это точка, одномерный – отрезок, двумерный – треугольник, трехмерный – тетраэдр.

С понятием выпуклости множества тесно связано понятие выпуклого функционала.

Определение.

Неотрицательный функционал p() ³ 0 для "  Î L называется выпуклым, если выполняются следующие условия:

1.   для " ,  Î L;

2.  p(a) = ap() для всех a > 0.

Примером выпуклого функционала может служить норма, так как сформулированные условия включаются в систему аксиом, определяющих норму.

Напомним, что гильбертовым называется бесконечномерное полное евклидово пространство H. В зависимости от того, над каким полем построено исходное ЛП (R или С) различают вещественное и комплексное H-пространства.

Для линейных функционалов  в Н ключевой является теорема, утверждающая, что любой линейный функционал в Н имеет вид , где вектор  однозначно определяет функционал . При этом .

Для линейных функционалов . Опираясь на неравенство Коши–Буняковского и сформулированную выше теорему, можно доказать предыдущее утверждение.

Пусть А – линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим функционал , где  – фиксированный вектор из Н. Очевидно, что  – линейный функционал и в соответствии со сформулированной выше теоремой . Выражая  через с помощью оператора А^* получим окончательно . Оператор А^* называется сопряженным к А. Его норма  равна норме исходного оператора, т. е. .

Понятие сопряженного оператора может быть введено в любом евклидовом пространстве. Так в R_n,где любой линейный оператор определяется матрицей А, сопряженным будет оператор, задаваемый сопряженной матрицей А^*. Напомним, что элементы сопряженной матрицы  равны элементам a_ji исходной матрицы. В вещественном гильбертовом пространстве L₂[a, b] для интегрального оператора Фредгольма  сопряженным будет оператор .