Расширенные модели экономического роста

10.4. Расширенные модели экономического роста

Модели экономического роста, анализировавшиеся в 10.1, 10.2, отображают воспроизводство общественного продукта и национального дохода вне зависимости от других элементов общественного воспроизводства. В них не учитывается влияние трудовых ресурсов и уже созданных производственных фондов на динамику и структуру национального дохода; производственное накопление не связывается с необходимостью повышения производительности труда. Факторные же модели экономического роста, рассматривавшиеся в 10.3, исходят из экзогенной динамики производственных факторов, т.е. являются чрезмерно "открытыми". Объединение условий простых макроэкономических моделей позволяет преодолевать их односторонность.

Синтез производственной функции и балансов производственных ресурсов. Макроэкономические производственные функции логично дополнить балансами трудовых ресурсов и основных производственных фондов, характеризующими процессы формирования величин L(t) и K(t).

Предварительно уточним ряд понятий, использовавшихся ранее. В данном разделе величина у означает конечный продукт (национальный доход плюс возмещение выбытия основных производственных фондов), и — валовые производственные капитальные вложения (накопление и возмещение выбытия основных производственных фондов). Принимается, что возмещение выбытия составляет gK(t), где g— фиксируемый параметр. Таким образом,

u(t) = .(10.35)

Динамика трудовых ресурсов достаточно хорошо описывается трендовыми моделями. Для последующего анализа удобнее всего выбрать экспоненту. Тогда в момент t величина трудовых ресурсов производственной сферы составит L(0)e^lt, где L(0) - ресурсы в момент t — 0; l— темп прироста трудовых ресурсов. Потребность же в трудовых ресурсах в момент tсоставляет , где v (t) — функция производительности труда (например, (10.32) или (10.33)).

С учетом принятых допущений получаем баланс трудовых ресурсов производственной сферы:

                            (10.36)

откуда определяется максимально возможный объем конечного продукта с точки зрения обеспеченности трудовыми ресурсами:

                              (10.37)

Очевидно, что при неизменной производительности труда конечный продукт может расти темпом, не превышающим l. Если же экзогенный (или гарантированный) темп прироста производительности труда равен d, то

                 (10.38)

Результаты 10.1 - 10.2 необходимо дополнить следующим утверждением: траектории национального дохода (конечного продукта) с темпом r_удостижимы, если r_у£ l+d. При подстановке (10.32) в (10.37) получаем

(10.39)

Подставляя (10.34) в (10.37), получаем

                      (10.40)

Введем в функцию Кобба — Дугласа (10.28) временную функцию трудовых ресурсов:

Проведя преобразования, получаем

                    (10.41)

Уравнения (10.39) - (10.41) увязывают двухфакторные производственные функции и баланс труда с ростом фондовооруженности труда или объема основных производственных фондов. Поэтому они могут использоваться как однофакторные производственные функции. Однако основное их назначение — включение в более общие макроэкономические модели, в которых k(t) и K(t) являются эндогенными переменными.

Отметим, что соотношение между k(t) и K(t) непосредственно вытекает из определения фондовооруженности труда

K(t)=k(t)L(0)e^lt(10.42)

Объединим теперь производственную функцию с балансом конечного продукта. С учетом (10.35)

                     (10.43)

Заменив y(t) двухфакторной производственной функцией общего вида, получаем

               (10.44)

Попытаемся далее совместить выведенные соотношения с принципами регулирования норм накопления, рассматривавшимися в 10.1 — 10.2.

Модель с фиксированной нормой капитальных вложений. Обозна­чим через а долю капитальных вложений в конечном продукте. Тогда u(t) = ay(t) = af[L(t), K(t)]. Подставляя это выражение в (10.35), получаем

                   (10.45)

В последующем анализе будем использовать вначале функцию Кобба — Дугласа первой степени, а затем — ее общую форму. Подставив (10.39) и (10.42) в (10.45), получаем

  (10.46)

Другое выражение  можно получить, дифференцируя (10.42):

              (10.47)

Приравнивая правые части (10.46) и (10.47) и проведя преобразования, приходим к

   (10.48)

Решением данного дифференциального уравнения является

 (10.49)

где h(t) — временна¢я функция, определяемая параметрами k(0), а₀, l, a, b, g, l(см. ДМНХ.с. 89).

При этом                                           

где

Итак, темп прироста фондовооруженности труда асимптотически приближается к величине , асимптотой фондовооруженности является .

Пусть, к примеру, а₀ = 2,5, l = 0,02, l = 0,01, b = 0,65, g = 0,1, k(0) = 13,68 тыс. руб. Тогда  = 0,0308, k(5) = 12,92, (5) = 8,20, k(10) =12,94,  (10) = 9,56, k(20) = 14,79, (20) = 13,00. Фактическая и асимптотическая фондовооруженность сближаются.

В соответствии с (10.39) и (10.42) получаем

                        (10.50)

(10.51)

Этим траекториям соответствуют асимптотические траектории и при . При этом траектория y(t) может находиться как ниже, так и выше траектории , в зависимости от k(0) и устанавливаемого а.

Принимая во внимание, что и(t) = ay(t) и с(t) = (1 - а)у(t), приходим к выводу, что динамика основных производственных фондов, конечного продукта и его функциональных элементов стремится к развитию с постоянным темпом прироста r_m, являющимся суммой темпа прироста трудовых ресурсов в производственной сфере и асимптотического темпа фондовооруженности труда:

(10.52)