Спектры сигналов. Разностные уравнения. Дискретное преобразование Лапласа. Теорема сдвига. Теорема об изображении разностей. Вариационное исчисление, вариация и её свойства

3.  Спектры сигналов

Совокупность коэф-ов ,(к=1,2,3…) разложения периодической ф-ии f(t) в ряд Фурье, наз-ся частотными спектрами этой ф-ии.

Из формул для и видно, что =(к), =(к), если ф-ия f(t) имеет период 2π.

Если же период ф-ии Т, то =(к2π/Т), =(к2π/Т). Здесь частота первой гармоники w=2π/Т. Следовательно, спектры являются ф-ями, зависящими от номера гармоники “к”, как независимой переменной.

Графически частотные спектры удобно изображать в виде отрезков длин ,, проведенных перпендикулярно к оси, на которую наносятся значения к или 2кπ/Т, т.к. к=1,2,…, то очевидно, что частотные спектры имеют дискретный (разрывный) характер.

Расстояние между отдельными линиями спектра в общем случае равно Dw=w и пропорционально частоте первой гармоники. Если период ф-ии f(t) равен 2π, то расстояние между линиями равно единице.

Совокупность комплексных чисел =2называется комплексным амплитудным частотным спектром.

Совокупность велечин =(кw) и (кw), к=(1,2…), наз-ся соответственно амплитудным и фазовым частотными спектрами периодической ф-ии f(t).

Для четной ф-ии f(t) =0, а для нечетной ф-ии =0. Следовательно, амплитудный и фазовый частотные спектры четной периодической ф-ии =ê ç, =0, а для нечетной периодической ф-ии =ê ç, =π/2.

Спектры и так же удобно графически изображать в виде отдельных линий. Как уже отмечалось, число может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому графики спектров и имеют смысл и при полож. и при отриц. частотах.

 =2ê ç, =-arg=arctg(/). Отсюда получим, что =, =-, т.е. амплитудный частотный спектр является четно-симметричной, а фазовый частотный спектр – нечетно-симметричной ф-ией частоты w.

Таким образом, при определении спектров можно не строить графики спектров при кw тогда, когда в этом нет необходимости, а достаточно изобразить лишь половину спектра при кw>0.

4.  Разностные уравнения . Дискретное преобразование Лапласа.

Всякое соотношение, связывающее решетчатую функцию f(п) и ее разности до некоторого порядка К,

называется разностным уравнением. Это уравнение можно представить в другом виде:

.

Например, линейное разностное уравнение

можно записать как

где  - известная решетчатая функция;  - искомая решетчатая функция. Разностное уравнение К –го порядка соответствует дифференциальному уравнению К-го порядка.

Дифференциальное уравнение можно рассматривать как предельное выражение для разностного уравнения. Решение разносных уравнений можно найти с помощью различных методов. В ТАУ используют операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.

Методика решения разностных уравнений этим мето­дом аналогична методике решения дифференциальных урав­нений с помощью преобразования Лапласа. Она основана на том, что разностное уравнение с помощью дискретного пре­образования Лапласа записывают в изображениях. Затем решают полученное таким образом уравнение относительно изображения искомой функции. После чего по таблицам изображений Д - преобразования Лапласа находят решетча­тую функцию.

Основные формулы дискретного преобразования Лапласа:

где

Понятие о Z – преобразовании. В дискретном преобразовании Лапласа

(1)

переменная gвходит в виде , и, следовательно, это преобразование не является рациональной функцией параметра q. В связи с этим исключается возможность применения обычных методов анализа в плоскости q, например, метод исследования устойчивости, качества и т.д, для анализа импульсных систем. Если в исходном выражении (1)  заменить на Z, то получим Z – преобразование, являющееся рациональной функцией относительно новой переменной Z:

основные формулы Z – преобразования получают заменой на Z, например:

 и т.д.

Z – преобразование используют в ТАУ при анализе импульсных АСР.

Дискретное преобразование Лапласа

Расчетную функцию , соответствующую непрерывной функции, можно получить с помощью амплитудно – импульсного модулятора, обеспечивающего амплитудную модуляцию последовательности мгновенных импульсов единичной площади  с периодом повторения Т сигналом f(t). Площади выходных импульсов модулятора равны значениям входной функции в дискретные моменты времени. Действие АИМ состоит в перемножении , поэтому сигнал на его выходе равен

    (1)

последовательность импульсов можно записать в виде бесконечного ряда

   (2)

где  - дельта – функция.

С учетом формулы (2) выражение (1) можно записать в виде

импульс , приложенный в дискретный момент времени t=nT, умножают на значение входной функции в тот же момент времени, ; поэтому выходную последовательность импульсов можно записать в виде , т.е. выходная последовательность импульсов модуля представляет решетчатую функцию, соответствующую непрерывной входной функции. Изображение по Лапласу элементарного n – го импульса на выходе модулятора