Спектры сигналов. Разностные уравнения. Дискретное преобразование Лапласа. Теорема сдвига. Теорема об изображении разностей. Вариационное исчисление, вариация и её свойства, страница 3

Н-р, операции интегрирования и дифференцирования сводятся к делению и умножению соотв. преобразования Л для этих функций на некоторое компл число р=g+js (параметр преобр Л.). Операция решения диф уравнений сводится к операции решения алгебраических уравнений. После операций с преобр Л по таблицам обратных преобразований находят искомые функции. Соответствие между функцией и преобразованием Л устанавливают спом интеграла Л:   , где f(t)-функция времени, подчиненная некоторым условиям; F(р)-преобр Л, который определяет собой некоторое комплексное число р=g+js; t- время. Для того чтобы несобственный интграл сходился, функция f(t) должна удовлетворять следующим условиям: 1);

 2)ф-я f(t) д/б непрерывной на всем участке интегрирования или иметь разрыв первого роды. Точка разрыва первого рода хар-я тем, что сущ пределы в точке разрыва слева и справа, но они не равны в точке разрыва второго рода, т е ф-я уходит в бесконечность; 3) ф-я f(t)м/б возратсающей ф-ей времени, но возрастать она должна не быстрее некоторой Ме^αt ,где α – показатель роста функции f(t). Т.о., не будет являться оригиналом в силу условия 3. .

Теоремы 1)Для единичной ступенчатой функции f(t)=1[t]

2) Теорема смещения. Умножение оригинала на е^αt приводит к смещению изображения на α:

3)Теорема линейности. Линейным комбинациям с оригиналами соответствуют аналогичные комбинации с  изображениями

4) Теорема о дифференц изображения. Умножение оригинала на (-t) приводит к дифференцированию изображения по параметру р:  

5) Теорема о диффер оригинала

6) Теорема запаздывания

7) теорема о начальном значении оригинала limpF(p)=f(0),при р→∞.

8) Теорема о конечном  значении оригинала limpF(p)=f(∞), при р→0

6.  Вариационное исчисление. вариация и её свойства.

Вариационное исчисление. Функционалами называются переменные величины,значения которых определяются выбором одной или нескольких функций. Например функционалом является длина плоской кривой, соединяющая две заданные точки А (х₀у₀) и В (х₁у₁). Величина L может быть вычислена, если в задано уравнение кривой y=y(x). Функции соответствует число, в то время как, при задании функции у=f(х) числу соответствует число. Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на максимум или минимум, называют вариационными задачами.

Вариация и ее свойства.

Методы решения вар.задач весьма сходны с методами исследования на экстремум функций. Переменная величина z называется функцией переменной величины x и обозначается z=f(х), если каждому значению х на некоторой области изменения х соответствует z. Переменная величина V называется функционалом, зависящим от функции у(х), и обозначается V=V[y(x)], если каждая функция у(х) из некоторого класса функций у(х) соответствует значение V. Приращением аргумента х функции f(x) называется разность между двумя значениями этой переменной ∆x=x-x₁. Если х независимая переменная, то дифференциал совпадает с приращением dx=∆х. Приращением или вариацией δу агрумента у(х) функционала V[y(x)] называется разность между двумя функциями δу=у(х) – у(х₁). Функция f(x) называется непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение функции f(x). V=V[y(x)] называется непрерывным, если малому изменению у(х) соответствует малое изменение функционала  V=V[y(x)]. Линейной функцией называется функция ζ(х), удовлетворяющая условиям: ζ(сх)=с ζ(х), где с производная постоянная. Линейным функционалом называется функционал L[у(х)], удовлетворяющий условиям L[cy(x)]=cL[y(x)]. Примером линейного функционала является  

Если приращение функции ∆f=f(x+∆x)- f(x) может быть представлено в виде ∆f=A(x)∆x+β(x,∆x)∆x, где A(x) не зависит от ∆х, а β(х, ∆х) →0 при ∆х→0, то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношению к ∆х часть приращения называется дифференциалом функции и обозначается df. Вариация функционала обозначается dV.  Дифференциал функции f(х) равен . Вариация функционала V[y(x)] равна . Теорема. Если дифференциал ф-ии  достигает максимума или минимума во внутренней точке х=х₀ области определения функции, то  вэтой точке df=0. Теорема. Если V[y(x)], имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при у=у₀, где у₀(х) – внутренняя точка области определения функционала, то при у=у₀(х), dV=0. Если функционал V[y(x)] достигает на кривой максимума или минимума по отношению ко всем кривым, максимум или минимум называется сильным. Если же V[y(x)] достигает на кривой максимума или минимума лишь по отношению к кривым, то максимум называется слабым.