Решение задач по методу Кирхгофа

§ 4. Решение задач по методу Кирхгофа

етоды изученные в предыдущих параграфах позволяют решить любую схему. Но чем сложнее схема, тем с большим количеством преобразований придется столкнуться. К примеру, сначала схему необходимо будет свернуть до одного контура, найти необходимые значения, затем  постепенно её разворачивать производя все новые и новые вычисления.

Это достаточно неудобно, и хотя закон Ома доказал свою универсальность, со временем стали появляться и другие более удобные методы. Основой для каждого из методов служит базисный закон – закон Георга Ома.

Густав Роберт Кирхгоф (1824-1887), профессор физики Гейдельберского университета в Берлине, в 1846 году установил два правила, названные в его честь[18] – «Первое и Второе правило Кирхгофа для электрических цепей»[19].

§ 4.1. Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю.

При выведении первого закона Кирхгоф опирался на закон сохранения электрического заряда[20]. Если в разветвление X, проводящей цепи входит ток силой I, а выходят токи I₁ и I₂, за время ∆t в область разветвления  втекает электрический заряд , а вытекает заряд . Приравнивая эти величины, друг к другу находим:

Если же в узле сходится n проводников, то

где под I_i понимают алгебраическую величину силы тока, которая берется со знаком «плюс», если ток входит в узел, и со знаком «минус» если выходит. Это правило называется правилом знаков.

Таким образом, мы получаем, что в один узел не могут втекать все токи из прилегающих ветвей, и из одного узла не могут вытекать все токи. Так как это нарушит закон сохранения заряда.

§ 4.2. Второй закон Кирхгофа для участка цепи.

Как уже говорилось, законы Кирхгофа включают в себя закон Ома. И второй закон для участка цепи[21] является прямым следствием закона Ома. Известно, что электрическое напряжение есть разница электрических потенциалов между двумя точками. Тогда, пусть электрические потенциалы в концевых точках участка цепи AB c сопротивлением R есть  и  рис 4.2. Тогда, по определению напряжения U на участке АВ,

а закон Ома приобретает вид:

Когда на участке AB имеется источник тока с ЭДС E, разность потенциалов изменяется на величину , где знак выбирается в зависимости от полярности включения источника (по току или против него). Тогда соотношение 4.4 принимает вид:

Если цепь сложная рис 4.3, то на пути от точки А к точке В может встретиться m источников тока ЭДС E_i и n сопротивлений R_k,  по которым протекают токи I_k. Тогда второй закон Кирхгофа для участка цепи записывается так:

Из соотношения 4.6 выразим силу тока:

В такой записи это соотношение получило название обобщенный закон Ома. Для электрической схемы изображенной на рисунке 4.3 сила тока по обобщенному закону Ома будет выглядеть так:

§ 4.3. Второй закон Кирхгофа для замкнутого контура.

Второй закон Кирхгофа для замкнутого контура.  В любом контуре электрической цепи  алгебраическая сумма ЭДС, источников напряжения, равна алгебраической сумме падений напряжения вдоль этого контура.

Второй закон Кирхгофа для замкнутого контура также основан на законе Ома и законе сохранения энергии – в замкнутой системе, сколько энергии излучается, столько же энергии и поглощается, таким образом, общее количество энергии остается неизменным.

Возьмем, к примеру, электрическую схему изображенную на рисунке 4.4. Стрелкой в верхнем левом углу обозначен обход контура. Обычно, но не обязательно, его направление выбирается по часовой стрелке. Обход необходим для правильного составления уравнения, так как при записи уравнений по второму[22] закону Кирхгофа используется следующее правило знаков:

Если заданные или выбранные направления ЭДС, напряжений и токов в ветвях совпадают с обходом контура, то ЭДС в суммах слева, напряжения и токи в суммах справа записывают со знаком «плюс», если не совпадают с обходом контура – со знаком «минус».

Теперь  составим уравнение для принципиальной электрической схемы, изображенной на рис 4.4. Направление токов выбрано совершенно случайно, только для этого примера.

§ 4.3. Метод решения задач на основе законов Кирхгофа.

Для того чтобы уметь применять законы Кирхгофа решим трех контурную электрическую цепь изображенную на рис. 4.5.