Операторы физических частиц

Лекция 7

6. Операторы физических частиц

6.1 Линейные операторы. Собственные функции и

собственные значения операторов

Оператор есть символ для обозначения действия или программы действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы получить другую функцию.

Операторы обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху: Â, . Если оператор стоит рядом с функцией и слева от нее, то это означает, что он действует на функцию. В результате получается новая функция тех же переменных:

ÂΨ = ψ.

            Функции Ψ  и ψ должны относиться к одному классу функций. Невозможен, например, переход от функции действительного переменного к функции комплексного.

            Примеры операторов:

1) Â = х– оператор умножения на переменную х;

2) = ∂/∂х - оператор дифференцирования по х;

3)  =    перейти к комплексно-сопряженному выражению.

Результаты действий этих операторов:

1) Â ψ = хψ; 2) ψ = ∂ψ/∂х;  3) Ĉψ = ψ*.

    Оператор называется линейным, если для него выполняется условие:

  (c₁ψ₁ + c₂ψ₂) = c₁ψ₁ + c₂ψ₂,

где ψ₁ и ψ₂ – функции, с₁, с₂ – постоянные (комплексные числа).

    Например, операторы дифференцирования и умножения на переменную величину линейны, а возведения в степень – нет.

    Символы операторов рассматриваются как самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математическими действий: сложения, умножения, возведения в степень, разложение в степенной ряд:

       если            

Сложение ассоциативно и коммутативно:

Оператор Ĉ называется произведением операторов:

Операторы, для которых , называется коммутирующими. Оператор  называется коммутатором операторов Â и , и обозначается .

    Для коммутирующих операторов [] = 0.

Равенство  называется уравнением для собственных значений и собственных функций оператора Â, здесь ψ – функция, а – число.

Если функция удовлетворяет стандартным требованиям для ψ – функции, то она называется собственной функцией оператора Â, принадлежащей его собственному значению а. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным.

Собственное значение называется вырожденным, если ему соответствует несколько линейно независимых собственных функций. Число таких функций называется кратностью вырождения.

Оператор Â называется самосопряженным или эрмитовым, если выполняется равенство:

.