Операторы физических частиц, страница 2

    Например, Â = х;  - самосопряженные операторы.

Сумма самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор. Применение самосопряженных операторов в квантовой механике обуславливается тем, что их собственные значения всегда вещественны. Собственные функции эрмитовых  операторов попарно ортогональны.

    Для эрмитовых операторов характерна полнота системы собственных функций. Это значит, что в случае дискретного спектра по собственным функциям эрмитового оператора может быть разложена любая функция состояния в обобщенный ряд Фурье. В случае непрерывного спектра разложение производится в интеграл Фурье.

6.2 Операторы и допустимые значения физических величин. Оператор Гамильтона. Вычисление средних значений физических величин

     Итак, энергия микросистем, как мы видели на примере частицы в потенциальной яме и гармоническом осцилляторе, принимает дискретные значения, квантуется. Это значит, что использовать для энергии и других величин просто вещественные числа или векторы, как это делалось в классических электродинамике и механике, нельзя: не все точки числовой оси для энергии допустимы. Связь между физической величиной и ее математической моделью устанавливается постулатом: в квантовой механике основным физическим величинам сопоставляются линейные самосопряженные операторы. Обычно, оператор обозначается той же буквой, что и величина в классической физике.

     Исходными являются операторы координат и импульса. Оператор координаты х есть действие умножения на эту переменную:

     

          Оператор проекции импульса:

          Операторы других величин можно найти, учитывая, что соотношения между операторами физических величин такие же, как и между этими величинами в классической физике:

оператор радиус – вектора

импульса

момента импульса

,

кинетической энергии

,

потенциальной энергии

,

полной механической энергии

Оператор полной энергии называется оператором Гамильтона или гамильтонианом. Он играет особую роль, ибо его собственные функции оказывается волновыми функциями стационарных состояний. Кроме того, он входит в уравнение Шредингера.

Связь между оператором и наблюдаемыми при измерениях значениями физической величины дается постулатом: физическая величина может приниматься те и только те значения, которые совпадают с собственными значениями ее оператора.

Наиболее полное описание квантовой системы достигается заданием соответствующей этому состоянию волновой функции. В ней заключена вся информация о системе. Функция состояния позволяет определить плотность вероятности для положения частицы в пространстве и ее изменения во времени. С помощью волновой функции осуществляется расчет возможных результатов физических экспериментов и измерений физических величин, определяются средние значения физических величин в заданном состоянии. Изменение волновой функции во времени отражает изменение состояния квантовой системы под действием внешних сил.

Для определения функции состояния в каждом конкретном случае микросистемы записывается уравнением Шредингера:

.

В такой записи уравнение Шредингера пригодно для любых квантовых объектов. В зависимости от вида микрочастицы (отдельная частица, атом, кристалл) изменяется вид оператора Гамильтона, структура же уравнения остается неизменной.