Алгебраическая операция. Коммутативные и ассоциативные операции. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа

Алгебраическая операция

В основе всех понятий изучаемых в различных разделах алгебры лежит понятие алгебраической операции.

1. Алгебраическая операция.

Пусть  – множество (элементами  могут быть числа или функции или объекты геометрической природы и т.д.).

Говорят, что на  задана бинарная алгебраическая операция, если любой упорядоченной паре  элементов ставится в соответствие однозначно определённый элемент  этого же множества .

Иногда вместо  пишут , а ещё чаще бинарную операцию на  обозначают каким-нибудь специальным символом: *, º, ∙, +, так будем поступать и мы, называя  (или просто , без знака между  и ) произведением элементов . Таким образом, равенство

                                                                                                  (1)

будет в дальнейшем иметь следующий смысл:

упорядоченной паре  из  ставится в соответствие элемент . Иногда (там, где это будет удобнее) вместо «произведение» будем говорить «сумма», обозначая это так:

                                                                                             (1´)

( конечно, во многих случаях названия «сумма» и «произведение» условны)

Замечание 1. Можно рассматривать бинарную операцию в «широком смысле»: некоторым упорядоченным парам элементов из ставится в соответствие элемент из  один или много. Такой, более общий подход «имеет право на существование», он приводит к интересным результатам, однако мы, исходя из наших целей, будем придерживаться понятия алгебраической операции приведённого выше.

Замечание 2. Наряду с бинарными алгебраическими операциями имеет смысл рассматривать и более общие n-арные операции(унарные при n=1, тернарные при n=3 и т.д.), а также и их комбинации.[1] Нас же будут интересовать, за редкими исключениями, именно бинарные операции.

На множестве  можно задать много различных операций. Если хотят выделить одну из них, то пишут и говорят, что операция * определяет на  алгебраическую структуру или, что  - алгебраическая структура (другое название: алгебраическая система).

Примеры.

1.     На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Таким образом, заданы алгебраические структуры и .

2.     На  можно задать и другие операции: ; , получим структуры и  и т.д.

3.     На множестве  невырожденных матриц порядка n (): а) матричное умножение – алгебраическая операция, б) матричное сложение – нет.

Доказательство:

а) Пусть  и - две невырожденные матрицы n-го порядка: , . Матрица  - снова матрица n-го порядка, осталось доказать лишь её невырожденность. Поскольку, как известно, определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. , то . Итак, матрица  является элементом того же множества, что и матрицы  и .

б) Достаточно привести пример двух таких невырожденных матриц, сумма которых является вырожденной матрицей.

Пусть , . Тогда , , .

4.     . Сложение не является бинарной алгебраической операцией (объясните, почему).

5.     Рассмотрим множество векторов на плоскости. Скалярное произведение векторов не является алгебраической операцией (почему?).

6.     Рассмотрим множество векторов на плоскости и определим сложение векторов по «правилу треугольника». Это – алгебраическая операция.

7.     Векторное произведение векторов – алгебраическая операция.

Конструировать разные бинарные операции на множестве  можно неограниченно, но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком обща. Поэтому рассматривают структуры при некоторых естественных ограничениях.

Чаще всего нас будет интересовать выполнимость ассоциативного и коммутативного законов для операции.

2. Коммутативные и ассоциативные операции.

Бинарная операция * на множестве  называется ассоциативной, если  для всех .

Операция * называется коммутативной, если  для всех .

Свойства ассоциативности и коммутативности независимы. Действительно, например операция на :  является коммутативной (очевидно), но не ассоциативной, что легко показать: , а . Операция же умножения квадратных матриц порядка  - ассоциативна, но не коммутативна.

Примеры.

1.     Операции сложения и умножения на множестве  действительных чисел коммутативны и ассоциативны.

2.     Операция * на множестве натуральных чисел, задаваемая формулой  - некоммутативна (например , ).

3.     Операция на множестве , заданная формулой  - коммутативна, но не ассоциативна.

Доказательство:

Пусть  - любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на  получим: , и коммутативность операции * доказана.

Далее, , и , и при  равенство  не верно.

3. Нейтральные и обратные элементы. Обратимые операции.

Пусть на множестве  задана бинарная операция. Если существует такой элемент , что для любого элемента  выполняются равенства:

 и ,