Алгебраическая операция. Коммутативные и ассоциативные операции. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа, страница 2

то элемент  называется нейтральным относительно данной операции (другое название – единичный элемент).

Примеры.

1.     Число 1 является нейтральным элементом множества  относительно операции умножения.

2.     Матрица  - нейтральный элемент множества всех матриц второго порядка относительно операции сложения матриц.

3.     Множество натуральных чисел не имеет нейтрального элемента относительно операции, задаваемой формулой , т.к. иначе для некоторого числа  и любого  выполнялись бы равенства:  и , что невозможно.

Эти примеры показывают, что может существовать один нейтральный элемент и что нейтрального элемента может не быть вовсе. Оказывается, других возможностей нет, т.е. не может быть более одного нейтрального элемента.

Доказательство:

Пусть  и  - два нейтральных элемента относительно операции *. Тогда  (т.к  - нейтральный элемент), и  (т.к  - нейтральный элемент), откуда .

Пусть теперь множество  содержит нейтральный элемент  относительно некоторой бинарной операции *. Элемент  называется правым обратным для элемента , если , элемент  называется левым обратным для , если . Если операция ассоциативна, то левый и правый обратные элементы совпадают.

Доказательство:

                                                                                               (2)

                                                                                               (3)

Умножим равенство (2) слева на :

По ассоциативности: ,

из (3) следует: , но , а , значит .

Таким образом, в случае ассоциативной операции можно говорить просто об обратном элементе.

Обозначение: . Ясно, что .

Примеры.

1.     Рассмотрим операцию умножения на множестве  действительных чисел. Нейтральный элемент – число 1. Если , то обратный элемент  существует. Для числа 0 обратного нет. Если рассматривать операцию умножения только на множестве  положительных действительных чисел, то все элементы будут иметь обратные.

2.     Множество  с операцией сложения. Каждый элемент  имеет обратный, равный .

3.     Множество квадратных матриц второго порядка с операцией матричного умножения. Каждая невырожденная матрица обладает обратной, а для вырожденной матрицы обратной не существует.

Рассмотренные примеры показывают, что некоторые элементы обладают обратными, но могут существовать и элементы, не имеющие обратных. Естественно возникает вопрос: может ли какой-нибудь элемент обладать несколькими обратными? В рассмотренных примерах все элементы имели не более одного обратного, и это не случайно, т.к справедливо утверждение:

Если операция ассоциативна, то никакой элемент не может иметь более одного обратного.

Доказательство:

Пусть  и  - обратные элементы для элемента . Тогда  и (совпадение левого и правого обратных уже доказано).

Теперь получаем:

Подгруппы

Пусть множество  является группой относительно некоторой бинарной операции. Подмножество  множества , являющееся группой относительно той же операции, называется подгруппой группы .

Непосредственно из определения следует, что всякая группа является своей подгруппой, и что множество, состоящее из одного элемента – единицы группы, также будет ее подгруппой. У группы могут быть и другие подгруппы. Подгруппа  называется собственной, если  и .

Примеры.

1.     Множество положительных рациональных чисел  является группой относительно операции умножения и поэтому подгруппой мультипликативной группы положительных действительных чисел.

2.     Множество целых чисел , будучи группой относительно сложения, составляет подгруппу аддитивной группы действительных чисел.

Чтобы установить, что непустое множество  группы  есть подгруппа этой группы, достаточно проверить два условия:

1) Для любых двух элементов ,  их композиция  принадлежит .

2) Для любого элемента  обратный ему элемент  также принадлежит .

Докажем это. Условие (1) означает, что операция на множестве  будет операцией и на множестве . Ассоциативность операции на  следует из ее ассоциативности на . Из условий (1) и (2) следует, что : взяв какой-либо элемент , по условию (2) найдем в  обратный ему элемент , а по условию (1) получим, что  содержится в .