Математика \ Теория вероятностей и математическая статистика

Определение числовых характеристик отдельных выборок. Критерий Вилькоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей (критерий Фишера), страница 6

Рассмотрим случай параллельного соединения, для элемента А₁ (рис. 2№1). Вероятность прохождения электрического сигнала по цепи, определяется из того, чтобы либо элемент R1, либо R2, либо оба вместе были в работоспособном состоянии, т.е. применима теорема сложения для совместных событий:

P() = P() + P() - P();

P() = 0,8+0,8 – 0,8·0,8 = 0,96.

Гораздо проще данную задачу решить через противоположные события, если предположить, что элементы неработоспособны. Тогда, вероятность того, что электрический сигнал не пройдет, определяется из того, что и элемент R₁, и элемент R₂ будут неработоспособны, т.е. применяется теорема умножения:

P() = P()· P();

P() = 0,2 · 0,2 = 0.04

Чтобы определить вероятность прохождения сигнала, т.е. противоположное событие, необходимо:

P() = 1- P() · P();

P() = 1 – 0,04 = 0,96

Два разных подхода дают одинаковые результаты.

Определим вероятность прохождения сигнала по элементу А₂ (рис 2 №2).

Рассмотрим случай последовательного соединения. Сигнал пройдет по цепи, если оба элемента R₁ и R₂ будут работоспособны, с вероятностью 0,8, т.е. применима теорема умножения независимых событий:

P() = P() · P();

P() = 0.8 · 0.8 = 0,64

Если последовательно имеется n элементов, то применимо следующее выражение:

Определим вероятность прохождения по элементу А₂

P() = P() · P();

P() = 0,96 · 0,64 = 0,614;

Вероятность прохождения сигнала по элементу А₄ (рис 2 №4):

P() =[[ P() · P()+ P()]- [ P() · P()· P()]]· P() =

[[0.8·0.8 + 0.8]- [0.8·0.8·0.8]]·0.8 = 0,742.

Определим вероятность прохождения по элементу А₃

P() = [1- P()· P()]· P() ;

P() = [1 – 0,2·0,2]·0,8 = 0.768.

Определим вероятность прохождения по элементу А₅

P() = 1 - P()· P()· P() ;

P() = 1- 0,2·0,2·0,2 = 0,992.

Определим вероятность прохождения по элементу А₆

P() = [P() · P()+ P()]- [ P() · P()· P()];

P() = [0,8·0,8+0,8]-[0,8·0,8·0,8] = 0,928.

Так как элемент В неизвестен, но известно, что это может быть с одинаковой вероятностью элементы А3или А5, илиА6 т.е. данные схемы равновероятны, следовательно, можно найти вероятность прохождения электрического сигнала, как средневзвешенную сумму вероятностей для элементов А₃ и А₅ и А₆

P(B) = ;

P(B) = = 0,896.

В заключении, подставляем все найденные вероятности элементов цепи Е:

P(E) = P()· P()·P(B)· P();

P(E) = 0,96·0,614·0,896·0,742 = 0,3919.

Таким образом, вероятность прохождения сигнала по цепи Е равно 39,19%.

6.Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана. Моменты.

Задание.

При заданной плотности распределения непрерывной случайной величины найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.