Определение числовых характеристик отдельных выборок. Критерий Вилькоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей (критерий Фишера), страница 2

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости a = 2Q проверить нулевую гипотезу Н₀: F₁(x) = F₂(x) об однородности двух независимых выборок объемов n₁ и n₂   (n₁≤n₂) при конкурирующей гипотезе H₁: F₁(x) ≠ F₂(x), надо:

1.  расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т.е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия W_набл – сумму порядковых номеров вариант первой выборки;

2.  найти по таблице приложения 4 нижнюю критическую точку w_{нижн.кр} (Q; n₁,n₂), где Q=a/2;

3.  найти верхнюю критическую точку по формуле

w_{верх.кр} = (n₁ + n₂ +1)·n₁ - w_{нижн.кр}.                                    (1)

Если W_набл < w_{нижн.кр} или W_набл > w_{верх.кр}  - нулевую гипотезу отвергают.

Если w_{нижн.кр} < W_набл < w_{верх.кр} – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем, хотя бы одной из выборок превосходит 25.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе F₁(x) ≠F₂(x) нижняя критическая точка определяется следующим образом:

,

где Q = α/2; z_кр находят по таблице функции Лапласа (приложение 1) с помощью равенства . В остальном правило 1 остается без изменений.

     Решение:

Даны две выборки Х₁ и Х₂. Определить, однородны ли две выборки?

Примем уровень значимости a =0,01. Пусть нулевая гипотеза заключается в равенстве функций распределений F₁(x) = F₂(x), конкурирующая гипотеза F₁(x) ≠ F₂(x)

Расположим варианты обеих выборок в виде одного вариационного ряда и перенумеруем их:

Порядковые номера	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Варианты	7,87	7,92	8,02	8,15	8,21	8,55	8,75	8,89	9,01	9,07	9,11
Порядковые номера	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Варианты	9,11	9,15	9,16	9,27	9,34	9,42	9,48	9,68	9,92	10,20	10,23
Порядковые номера	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33
Варианты	10,25	10,32	10,50	10,58	10,64	10,64	10,70	10,77	10,78	10,81	10,89
Порядковые номера	34	35	36	37	38	39	40
Варианты	11,01	11,10	11,19	11,41	11,54	11,69	12,79

Примечание:  полужирным начертанием обозначены варианты первой

выборки,  курсивом обозначены варианты соответственно второй выборки.

Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона – сумму порядковых номеров вариант первой выборки:

W_набл = 2+3+4+6+7+12+14+15+16+17+18+19+21+22+25+27+31+34+37+38+41 = 409.

Найдем по таблице 10 нижнюю критическую точку, учитывая, что

Q = a/2 = 0,01/2 = 0,005,  = 0.375(по таблице функции Лапласа)

n₁ = n₂ = 20: w_{нижн.кр} = 375,4.

По формуле (1), определим верхнюю критическую точку:

w_{верх.кр} = (20+20+1)·20-375,4 = 444,6.

Так как, 375,4<409<444,6 , следовательно w_{нижн.кр} < W_набл < w_{верх.кр}, и нет оснований опровергать нулевую гипотезу об однородности двух выборок.

Критерии равенства математических ожиданий и дисперсий

1.  Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)

Допустим, имеются две большие независимые выборки объемом n и m (n>30, m>30), по которым найдены соответствующие выборочные средние -  и известны генеральные дисперсии.

Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: M(X₁)=M(X₂) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе H₁: M(X₁)≠M(X₂), надо вычислить наблюдаемое значение критерия

,

и по таблице Лапласа (приложение 1) найти критическую точку z_кр из равенства

.