Конспект семинарских занятий по второй половине курса «Методы вычислений»

YI семестр. ММФ НГУ

Методы вычислений. МКЭ

КОНСПЕКТ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

Мацокин А.М. – проф. кафедры вычислительной математики

2005-2006 учебный год

Предлагаем Вашему вниманию конспект семинарских занятий по второй половине курса «Методы вычислений» (лектор проф. Ю.М. Лаевский), проведенных профессором кафедры А.М. Мацокиным.

Содержание

1 семинар "Метод Галеркина (Ритца, Бубнова) для решения задачи о представлении  линейного функционала в гильбертовом пространстве". - 2 -

Гильбертово пространство. - 2 -

Линейный функционал. - 2 -

Теорема Рисса. - 2 -

Эквивалентные нормировки. - 2 -

Задача о представлении линейного функционала. - 3 -

·   Проекционная формулировка: - 3 -

·   Вариационная формулировка: - 3 -

Решение (приближенное): - 3 -

Сходимость. - 3 -

2 семинар "Пример построения проекционной формулировки краевой задачи и выбора конечномерных подпространств в методе Галеркина". - 5 -

Краевая задача: - 5 -

Интегральное тождество. - 5 -

Энергетическое пространство. - 5 -

Проекционная формулировка задачи : - 6 -

Тригонометрический базис в . - 6 -

Метод Галеркина для задачи в . - 7 -

3 семинар "Кусочно-линейные восполнения". - 8 -

Метод Галеркина для задачи в . - 10 -

4 семинар "Кусочно-квадратичные восполнения". - 11 -

Метод Галеркина для задачи в . - 13 -

Задачи к экзамену. - 15 -

1 семинар "Метод Галеркина (Ритца, Бубнова) для решения задачи о представлении  линейного функционала в гильбертовом пространстве"

Гильбертово пространство.

Пространство (бесконечномерное)  – гильбертово, если в нем заданы:

·  скалярное произведение ,

·  норма ;

оно замкнуто и сепарабельно.

·  В нем существует счетный базис  и .

·  Среди всех базисов выделяют ортонормированные базисы:   .

·  Если  – замкнутое подпространство, то элементы, ортогональные ко всем элементам из , образуют замкнутое ортогональное подпространство  и , т.е.

.

Линейный функционал.

Отображение  называется линейным функционалом, если

1.   – однородность,

2.   – аддитивность,

3.   – ограниченность (непрерывность).

Теорема Рисса.

Линейный функционал f(v) однозначно представим в виде .

Эквивалентные нормировки.

Пусть  – билинейная, симметричная форма, определенная на плотном в  множестве :

·   
– линейность по первому аргументу,

·   – симметричность,

Кроме того,

·   – непрерывность формы,

·   – коэрцитивность формы.

Доказать, что форма  продолжается по непрерывности на  с сохранением всех своих свойств, определяет в H новое скалярное произведение и норму , эквивалентную норме :

.

Задача о представлении линейного функционала.

·  Проекционная формулировка:

      определить .

·  Вариационная формулировка:

      определить , где .

Решение (приближенное):

Выберем (произвольно) в гильбертовом пространстве  несколько линейно независимых элементов: .

Их линейную оболочку обозначим через .

Будем искать приближенное решение в виде .

Для определения неизвестных  чисел  из проекционных условий

получим n уравнений:

Для определения неизвестных  чисел  из вариационных условий

где , приравняем нулю производные от функционала :

Легко видеть, что обе формулировки приводят к одной и той же системе линейных алгебраических уравнений порядка  с матрицей Грамма набора линейно независимых векторов .

Доказать,

что эта матрица является невырожденной, симметричной и положительно определенной, т.е. система имеет единственное решение.



Сходимость.

   

Отсюда следует, что приближенное решение совпадает с ортогональной проекцией решения на .

Для сходимости достаточно, чтобы, т.е. .

Обычно для оценки сходимости используют следующее из теоремы Пифагора неравенство:

,

подбирая для (неизвестного)  подходящий элемент (интерполянт)  и оценивая их разность.

Задача 1.

, ,

а.  определить ;

б.  определить .

Задача 2.

, ,

а.  определить ;

б.  определить .

Задача 3.

, ,

а.  определить ;

б.  определить .

Задача 4.

, ,

а.  определить ;

б.  определить .

Задача 5.

, ,

а.  определить ;

б.  определить .

2 семинар "Пример построения проекционной формулировки краевой задачи и выбора конечномерных подпространств в методе Галеркина"

Краевая задача: