Математическое обеспечение робастных систем (Глава 2 учебника "Планово-экономическое управление")

                                                         Глава 2

                     Математическое обеспечение робастных систем  

Как было показано в главе 1, при создании робастных систем существует группа метрологических характеристик, которые характеризуют методические ошибки, возникающие в процессе проектирования системы управления. К ним относятся ошибки идентификации (см. рис.1.12), ошибки метода линеаризации критерия управления (см. рис. 1.13) и  ошибки имитационного моделирования (см. рис.1.14). Таким образом, при анализе результатов проектирования робастных систем необходимо просматривать все три типа моделируемых переходных процесса (см. рис. 2.1.).  Конечно же, главный – это эталонный переходный процесс (см. жирную линию-1 на рисунке 2.1), как цель которую необходимо достигнуть в процессе управления.  Линия 3 на рисунке 2.1 – это переходный процесс, полученный в результате имитационного моделирования процессов управления по заданному(спроектированному) алгоритму управления. Пунктиром 2 на рисунке 2.1. показан переходный процесс, полученный в результате имитационного моделирования процесса управления при оптимальных настройках всех алгоритмов системы.

             Рис. 2.1  Прогнозируемые переходные процессы

Исходным для анализа причин возникновения ошибок цифровой обработки  и передачи на расстояние измерительной информации является теория потенциальной помехоустойчивости академика Котельникова В.А. [18],  которая базируется  на уравнении передачи дискретных сообщений:

                                   (2.1)

Здесь T_s – это период опроса датчиков измерительной информации о непрерывной измеряемой функции X(t) ; X(iT_s) – решетчатая функция, где i – это порядковый номер измерения,  f_m,- частота среза или ширина спектра измеряемого сигнала, X(t).

     Выражение (2.1) показывает, что любую функцию X(t), образованную колебаниями частот, лежащих в пределах от 0 до  f_m, можно передавать при помощи ее значений, периодически отсчитываемых с интервалом T_s = (2f_m)^-1 секунд. Соотношение (2.1), наряду с обеспечиваемой им математической интерпретацией процесса дискретной передачи,  в виде разложения исходной функции по ортонормированным функциям, определяет и структуру основного физического процесса преобразования непрерывной функции времени при дискретной передаче информации. Эта структура состоит из  операций периодического отбора мгновенных значений X(t),  с последующим восстановлением по ним желаемой непрерывной функции.   Класс рассматриваемых функций определен условием ограниченности их спектра полосой частот [0 – f_m]. Ограничение спектра является допущением, позволяющим построить строгую модель идеальной дискретной передачи непрерывных функций. Действительно, если обозначить мгновенные отсчеты исходной непрерывной функции через X(iT_s), а саму непрерывную функцию через X₁(t). Тогда, в случае, когда спектр функции X(t) ограничен частотой f_m и частота отсчетов f_S = Т_S^-1  удовлетворяет условию  f_S = 2f_m, восстановленная функция, X₂(t), в соответствии с (2.1) равна исходной:  X₂(t)=X₁(t). Если  эти функции  имеют преобразования Фурье U₁( jf ) и U₂( jf ), то и для них выполняется условие равенства спектров:

    U₁( jf ) = U₂( jf )                               (2.2)

Это соотношение позволяет не только в удобной форме анализировать свойства процесса цифровой передачи и обработки  непрерывных функций времени, но и понять возможные причины нарушения равенства (2.1) и дать им соответствующую геометрическую интерпретацию [7].

 Одной из причин появления систематической методической  динамической погрешности реализации уравнения  (2.1) связана с усечением ряда дискретных значений. В промышленных условиях это конечная величина, N, которая тесно связана с периодом нанесения управляющих воздействий, T_у, который, в свою очередь, определяет время накопления информации для идентификации эталонной математической модели. Случай восстановления функции по ее отсчетам на ограниченном (может быть, ''скользящем'' при текущей идентификации) отрезке времени представляет значительный интерес в связи с важностью повышения (при контроле и управлении) оперативности получения требуемых сведений об объекте управления и особенно при адаптивном управлении. Эту составляющую потерь информации обозначим, через ∆₃ . Вторая, пожалуй, самая маленькая составляющая систематической методической динамической погрешности численной реализации уравнения (2.1) связана с измерением непрерывной случайной функции имеющей неограниченный частотный спектр.  А таковыми являются все измерительные сигналы, и входные в объект управления - X(t), и критерии управления - Y(t), и возмущающие переменные- F(t) хотя бы потому, что являются случайными функциями времени из-за наложенной на них помехи измерения. Эту составляющую погрешности цифровой обработки информации обозначим за  ∆₂ .