Тестові завдання на 4 бали з дисципліни "Числові методи"

Задания на «4» по численным методам.

№1

Розв’язати  нелінійне рівняння  2^x+5x-3=0 з точністю e=0,0001.

> fsolve(2^x+5*x-3,x);

х=0,3458;

№2

Розв’язати СЛАР з точністю

> solve({-0.77*x1-0.44*x2+0.21*x3-0.18*x4=-1.24, 0.45*x1+1.23*x2+0.06*x3+0.00*x4=0.88, 0.26*x1+0.34*x2-1.11*x3+0.00*x4=-0.62, 0.05*x1-0.26*x2+0.34*x3-1.12*x4=1.17});

Ответ: x1=2.0891 x2=-0.0985 x3=1.0177 x4=-0.6196

№3

Розв’язати систему нелінійних рівнянь з точністю e=0,0001.

> fsolve({2*x-y^2+z=1, 3*x^2-2*y+3*z=1.75, x^2+y+z^2=2.25});

Ответ:

№4

За результатами N експериментів необхідно одержати наближення y=j(x), яке апроксимує залежність у від x.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Yi	34,5	18,7	15,1	11,3	12,44	11,9	6,7	4,3	2

Y=14.85 -3.71X

№5

Для функції y=f(x), яка задана в таблиці, побудувати інтерполяційний многочлен. Обчислити в заданій точці x*=1,5 значення функції.

Решение:

> interp([0, 1, 2, 3, 4], [1, 4, 15, 40, 85],x);

Р4=

P₄(1.5)=8.125,

№6

Для функції y=f(x), яка задана в таблиці,  побудувати сплайн. Обчислити в заданій точці  x*=1,5 значення заданої функції.

> spline([0, 1, 2, 3, 4], [1, 4, 15, 40, 85],x,cubic);

[1;2] S₃(1.5)=8.1875

№7

Обчислити інтеграл   з точністю  .

> evalf(int(sqrt(1+x^4),x=0..1));

I = 1.089

№ 8

Чисельно розв’язав задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку з точністю e=0,00001, одержати у(1)

    

> ordev=4:

> a:=diff(y(x),x)=x+y(x)^2:

> cond:=y(0)=0.5:

> rez:=dsolve({a,cond},y(x),numeric);

> rez(1);

у(1)= 2.12785 

№9 

Чисельно розв’язавши крайову задачу, одержати у(1).

          

> sys:=diff(y(x),x$2)+(diff(y(x),x)/x)+2*y(x);

> init:=2*y(1)+3*D(y)(1)=1.2, y(0.7)=0.5;

> rez:=dsolve({sys,init},y(x),numeric,output=listprocedure);

> rez(1);

Ответ

№10

По заданим результатам 6-ти експериментів одержати функцію, яка передбачає реакцію системи за числовими значеннями вхідних параметрів

№ експер	Вхід	Вхід	Вхід	Вхід	Вихід
1	1	-0.2	0	1	0.5
2	0.1	1	-0.1	2	-0.5
3	0.3	-0.5	1	3	2
4	-0.1	0.6	0.2	2	1
5	-0.15	1	0.4	2	0.4
6	0	0.1	-0.05	1.5	-1

 - вхід.

F(u)=-0.63-0.02-0.84+0.47;

№11

Розв’язати нелінійне рівняння за допомогою методу Ньютона з точністю e=0,0001 на інтервалі (0;1)

            e^-2x-2x+1=0

Перевірити, що  даний інтервал містить тільки один корінь (вставити знак >  або <)

            1. F(0) __   0  

            2. F(1)   __  0

            3. F’(x)  __  0, xÎ(0;1)          

            4. F”(x)   __  0, xÎ(0;1)                    

5. Обчисліть початкове наближення Х0 з точністю до десятих        

6. Обчисліть перше наближення х1 з точністю до десятих            

7. Обчислите корінь рівняння з точністю e=0,0001 

Х^*» _________   

Ответ:

Перевірити, що  даний інтервал містить тільки один корінь (вставити знак >  або <)

            1.F(0) __   0    ( > )

            2.F(1)   __  0   ( < )

            3.F’(x)  __  0, xÎ(0;1)            ( < )

            4.F”(x)   __  0, xÎ(0;1)          ( > )

           5 Початкове наближення Х0=___    (0)

Вибираємо початкове наближення кореня  так, щоб  Вибираємо  , тому що .

6.Обчислите перше наближення х1

х1=____ ( 0.5)

7. Обчислите корінь рівняння з точністю e=0,0001

Х^*» _________    ( 0.6392  )

Решение:

> rez:=fsolve((exp(-2*x))-2*x+1,x);

> diff((exp(-2*x))-2*x+1,x);

> diff(diff((exp(-2*x))-2*x+1,x),x);

№12

Розв’язати нелінійне рівняння за допомогою методу простих ітерацій з точністю  на інтервалі (0;1)

            e^-2x-2x+1=0

Перевірити, що  даний інтервал містить тільки один корінь (вставити знак >  або <)