Розрахунок математичного сподівання. Розрахунок заданої ймовірності та їх відношення, розглянувши випадкові події

Сумський Державний Університет

Кафедра моделювання складних систем

Завдання

з дисципліни

“Теорія ймовірностей і математична статистика”

(п’ятий семестр)

МОДУЛЬ 3

Варіант 11

                  Виконав: студент групи ІН-83

                Мірошниченко В. М..

                  Перевірив: проф. Мазманішвілі О.С.

Суми – 2011

ЗАВДАННЯ 11

ЗАДАЧА 1

Густина розподілу  випадкової величини X має вигляд

,       .

В задачі потрібно:

1. Знайти сталу .

2. Знайти математичне сподівання .

3. Розглянувши випадкові події  та , знайти ймовірності ,  та їх відношення .

4. Оформити результати графічно.

Параметри:

k = 0,      m = 0,      n =2,      p = 2.

Розв’язання

Підставимо задані параметри і отримаємо густину розподілу  випадкової величини X, яка має вигляд:

,

1.  Знайти сталу .

Густина f(x) будь-якої випадкової величини невід'ємна, f(x) > 0, та має властивість

тобто ймовірність повної групи подій дорівнює одиниці.

Коефіцієнт С визначимо за допомогою формули про ймовірність повної групи подій:

Зробимо заміну:

Рис.1 – графік густини розподілу

2.  Знайти математичне сподівання .

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X з густиною f(x) називається її середнє значення, що обчислюється за формулою

Зробимо заміну:

3.  Розглянемо подію . Оскільки, за умовою  то розіб’ємо інтервал на дві частини по . Отримаємо, що  і

 . Тоді у термінах інтегральної функції розподілу буде обчислюватися як:

І аналогічно обчислюється :

Спочатку знайдемо F(x):

Обчислимо ймовірність :

Тепер знайдемо ймовірність :

Отже,

ЗАДАЧА 2

Передбачається, що один з двох приладів, які визначають швидкість автомобіля, має систематичну помилку (завищення). Для перевірки цього припущення визначили швидкість 10 автомобілів, причому швидкість кожного з них фіксувалася одночасно двома приладами. У результат отримані наступні дані:

км/годин	70	85	63	54	65	80	75	95	52	55
км/годин	72	86	62	55	63	80	78	90	53	57

Чи дозволяють ці дані стверджувати, що другий прилад дійсно дає завищені значення швидкості? Прийняти  =0,05.

Розв’язання

Н₀ : другий прилад дійсно дає завищені значення швидкості.

Перевіримо гіпотезу H₀  про те, що прилад дійсно дає завищені значення швидкості.

Знайдемо вибіркові середні для величин . Позначимо їх через x та у відповідно.

Знайдемо вибіркові дисперсії:

Знайдемо середньоквадратичне відхилення:

s_x=14.3;

s_y=13,40.

Знайдемо довірчі інтервали для математичного сподівання  генеральної сукупності:

 – середнє;

  – точність.

  – квантиль розподілу Ст’юдента.

Ми бачимо, що другий прилад дійсно може давати завищення з надійністю γ=0,95.

Знайдемо довірчі інтервали для генеральних дисперсій  та :

 χ² – квантиль розподілу Пірсона.

Інтервали перетинаються, тому з імовірністю 95% ми не можемо відкинути гіпотезу про рівність дисперсій, отже, другий прилад не дає завищення.

Відповіть: гіпотеза Н₀ відкидається, з рівнем значущості =0,05.

ЗАДАЧА 3

На протязі деякого терміну фіксувалась кількість аварій водогінної мережі міста. Отримано наступні дані:

Кількість аварій, X	0	1	2	3	4	5
Частоти,	8	28	31	18	9	6

Перевірити гіпотезу про то, що розподіл кількості аварі водогінної мережі міста підпорядковується закону Пуассона. Рівень значущості прийнять =0,10 та =0,05. Результати оформіть графічно.

Розв’язання