Функции многих переменных. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке

VI.Функциимногихпеременных.

Предел функции: X и Y – метрические пространства. E из X, f:E->Y. p – предельная точка Е. Будем обозначать , если $ q Î Y: " ε>0 $ б>0: ρ_y(f(x),q)<ε => ρ_x(x,p)<б

Свойства пределов: 1) 2) lim(f(x)g(x))=ab 3)lim(f(x)/g(x))=a/b

Непрерывность функции многих переменных:

X и Y – метрические пространства. E из X, f:Х->Y. p – предельная точка Е. Функция f называется непрерывной в точке p, если " ε>0 $ б>0: ρx(f(x),f(p))<ε . " x: ρx(x,p)<б

Локальные свойства: 1) Пусть р - изолированная точка. Тогда " f, определенных на множестве Х в точке р будет непрерывной в этой точке. 2)Пусть р – предельная точка Х. f непрерывна в р ó когда lim(f(x))=f(p). 3) Отображение f:X->R^m  непрерывно в некоторой точке p Î Х, ограничено в некоторой точке р Î Х, ограничено в некоторой окрестности этой точки. 4) Если отображение g: Y->R^k, Y из R^m, непрерывно в точке y₀ Î Y и отображение f:X->Y, X из R^m непрерывно в точке x₀ Î Х, причем f(x₀)=y₀, то определено отображение h(x)=g(f(x)). H:X->R^k. h – суперпозиция отображений. 5) Если вещественнозначная функция f: X->R непрерывна в точке p Î Х и f(p)>0 (f(p)<0), То найдется такая окрестность точки p, что " x Î U(p) f(x)>0(<0). 6) Если f,g: X->R непрерывны в точке p Î X, то их линейная комбинация (αf+βg);fg;f/g будут непрерывны в точке p.

Равномерная непрерывность: f:X->R^m  , X Î Rn называется равномерно непрерывным на Х, если " ε >0 $ б>0: " x₁,x₂ Î Х, ρ(x₁,x₂)<б => ρ(f(x₁),f(x₂))<ε

Условие Гельдера(Липшица) порядка α (0<α≤1). $ K: " x₁,x₂ Î Х ρ_y(f(x₁),f(x₂))≤k[ρ_x(x₁,x₂)]^α

f(компакта) = компакт

Глобальные свойства:

1)Если отображение f:X->Rⁿ, где Х-подмножество Rⁿ, непрерывно на компакте Х,  то оно равномерно непрерывно на нем. 2) Если отображение f:X->Rⁿ, где Х-подмножество Rⁿ, непрерывно на компакте Х,  то оно ограничено на Х. 3) Если отображение f:X->R, где Х-подмножество R^m, непрерывно на компакте Х,  то она принимает мин. и макс. значение на нем 4)Если функция f:X->R непрерывна на связном множестве Х и принимает в точках a,b значения А=f(a), B=f(b), то для " С:A<C<B $ сÎХ, f(c)=C;

Полное метрическое пространство: Метрическое пространство Х называется полным, если " последовательность Коши сходится к элементу этого пространства.

Пусть в метрическом пространстве Х задана последовательность точек x₀,x₁,…,x_n, которая сходится к некоторой точке х, тогда эта последовательность будет обладать свойством: " ε>0: $ N:" n,m>N: ρ(x_n,x_m)<ε и называется фундаментальной или последовательностью Коши.

Теорема о неподвижной точке: f:X->X называется сжатием или сжимающим отображением, если $ 1>k>0, что для " пары элементов из Х: ρ(f(x),f(y))≤kρ(x,y). Тогда оно удовлетворяет условию Липшица и равномерно непрерывно. Т.а Î Х называется неподвижной точкой отображения Х, если выполняется f(a)=a;

Т. Каждое сжатие полного метр. простр-ва имеет неподвижную точку и при том единственную.

Дифференцируемость и дифференциал функции в точке

F:X->Rⁿ, х Î R^m, называется дифференциалом в точке х множества Х, где х-некоторая предельная точка множества Х. если выполняется следующее равенство (1)f(x+h)-f(x)=L(x)h+α(x;h), где L(x):R^m->Rⁿ (линейна относительно h), α(x;h)=o(h)при h->0, h-малая величина;Δx(h)=(x+h)-x = h – приращение аргумента; Δf(x(h))=f(x+h)-f(x) называется приращением функции и обозначается Δx и Δf. Линейная функция L(x): R^m->Rⁿ называется дифференциальным касательным отображением или производным отображением функции f:X->Rⁿ . Дифференциал f обозначается так: df(x), Дf(x),. или , тогда формула 1 выглядит так: f(x+h)=f(x)= h+o(h)

Частные производные: x⁰ – нулевой элемент пространства. Если все векторы 1 f(x+h),f(x),L(x)h,α(x;h)h из пространства Rⁿ записать в покоординатной форме, то равенство 1 тождественно равенствам:

Лемма1: Отображение F:X->Rⁿ, X Î R^m дифференцируемо в предельной точке х множества Х ó в этой точке дифференцируемы все вещественнозначные функции fⁱ

Лемма2: Если функция F:X->R, X Î R^m, дифференцируема во внутренней точке  множества Х, то функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется частными производными в следующем виде(8). , (9)

Непрерывность. Дифференцируемость функции в точке и частные производные. Поскольку в 1, L- линейный оператор, то Lh->0, таким образом из 1: функция дифференцируемая в точке непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно.

Основные свойства дифференцирования:

Т1. Пусть дана f₁:X->Rⁿ , f₂:X->Rⁿ и они дифференцируемы в точке х Î Х. Тогда их линейная комбинация также дифференцируема в этой точке, причем для нее выполняется равенство: