Несобственные интегралы. Определение несобственного интеграла с бесконечным пределом

III. Несобственные интегралы.

Определение несобственного интеграла с бесконечным пределом:

Пусть f(x) определена на [a;+ ∞) и интегрируема в любой конечной подобласти этого промежутка. Предел этого интеграла (конечным или ∞) при b->∞ называется интегралом функции f(x) от [a;∞) и обозначается (1). В случае если, предел (1.1) конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а f(x) тогда интегрируема на бесконечном промежутке [a;+∞). Если же lim(1)=∞ или не существует, то интеграл расходится. Интеграл (1) – несобственный интеграл I рода

Свойства: Их сходимости, 1)Сходится для всех b>a и наоборот. 2) 3) сходимость , С=const 4)Если сходится еще , то сходится

Признаки сходимости: Если f(x) положительна для любых x, то (4) представляет собой монотонно возрастающую функцию  от А.

Т1. Для сходимости несобственного интеграла(1)  в случае f(x)≥0 ó чтобы интеграл 4 оставался ограниченным сверху. Если это условие не выполняется, то интеграл имеет значение равное +∞.

Т2.  Если при x≥A≥a имеет место неравенство f(x)≤g(x), то из сходимости (5) следует сходимость (6) и наоборот для расходимости

Т3. Если , то из сходимости интеграла 5 вытекает сходимость 6 при k<∞, а из расходимости 6 – сходимость 5 при k>0

Признак Коши: Пусть для больших x f(x) представимо в виде , Тогда,

1)  Если λ>1  и ψ(x)≤C≤+∞, то тогда интеграл 1 сходится

2)  Если λ≤1 и ψ(x)≥C>0, то интеграл 1 расходится.

Т.е. для того, чтобы воспользоваться признаком Коши нужно определить, является ли f(x) при x-> 0 бесконечно малой порядка λ>0 по сравнению с 1/x;

Абсолютная сходимость: Если сходятся  и (8), то интеграл 1 – абсолютно сходящийся., а f(x) – абсолютно интегрируема на [a;+∞)

Если сходится 1, а 8 – расходится, то 1 – условно сходящийся.

Критерий Коши: Для сходимости  интеграла 1 ó чтобы для любых ε>0 существовало А₀>a, что для любых А>А₀ и А’>A₀ выполнялось: Следствие: Если сходится интеграл с функцией по модулю, то сходится и интеграл с функцией без модуля.

Признак Абеля: Пусть f(x) и g(x) определены на [a;+∞). Причем:

1)f(x) интегрируема на этом промежутке так, что {интеграл вида 1} сходится хотя бы неабсолютно. 2)g(x) монотонна и ограничена на всем промежутке. |g(x)|≤L. Тогда интеграл  сходится.

Доказательство: Пусть даны A`>A>a ->через теорему о среднем: на два интеграла до кси. Из условия 1 и вместо ε возьмем ε/2L, оценим и получим ≤ε;

Признак Дирихле:

1)f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a;A] и интеграл от а до А ≤K; 2) g(x) монотонно ->0 при x->∞ и предел g(x)=0 при x->0., Тогда интеграл  сходится.

Доказательство: аналогично Абелю с учетом бесконечной малости g(x)

Определение несобственного интеграла от бесконечной функции(II Рода):

Пусть f(x) задана на [a;b], но она не ограничена в этом промежутке. Пусть f(x) ограничена и интегрируема в любом конечном промежутке [a;b-η] где 0<η<b-a. f(x) не ограничена  на [b-η;b]. Точка b называется особой точкой. Предел (1) называется несобственным интегралом II Рода. Он может быть, как конечным, так и бесконечным. Если конечен, то 1 – сходящийся интеграл, иначе – расходящийся. Точка ∞ всегда является особой и требует дополнительного предельного перехода.

Теорема сравнения: Для сходимости несобственного интеграла 2 рода ó чтобы для любых η>0: интеграл 1 оставался ограниченным сверху.

Признак Коши:

Пусть для x достаточно близких к b-η f(x) может быть представлена в виде: f(x)=g(x)/(b-x)^λ λ>0, тогда 1) λ<1 и g(x) ограничена верху, то 1-сходится, 2) λ≥1, а g(x) ограничена снизу, то расходится

Частный случай: x->b, f(x) – бесконечно большая по сравнению 1/b-x порядка λ. 1 сходится (расходится) при λ<1 (λ≥1)

Свойства несобственных интегралов второго рода:

Теоремы о среднем:

Т1. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], причем f(x) ограничена, а g(x) не меняет знака, тогда f(x)*g(x) будет интегрируема на [a;b] причем  

Т2. Пусть f(x) монотонна и ограничена на [a;b], а g(x) интегрируема на [a;b], Тогда f(x)*g(x) будет интегрируема на [a;b]:

Интегрирование по частям:

Пусть u(x) и v(x) определены и непрерывны вместе со своими первыми производными в [a;b], кроме x=b(+∞),  тогда для

Замена переменных:

Пусть f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном [a;b] и интегрируема в этом интеграле в собственном смысле. Рассмотрим монотонно возрастающую x=φ(t) непрерывную вместе со своей производной на [α;β], где β может быть ∞ и пусть φ(α)=a, φ(β)=b, тогда