Ряды Фурье. Элементы теории меры. Интегралы Лебега и Стилтьеса. Элементы теории чисел комплексных чисел

Ряды Фурье

Ортогональные системы функций, коэффициенты Фурье, аппроксимация вектора элементами подпространства, минимальное свойство коэффициентов Фурье, неравенство Бесселя. Тригонометрический ряд Фурье, принцип локализации, условие Дини, достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Равномерная сходимость рядов Фурье, интегрирование и дифференцирование ряда Фурье. Коэффициенты ряда Фурье для четной и нечетной функций.

Элементы теории меры. Интегралы Лебега и Стилтьеса

Меры Лебега и Жордана и их свойства. Измеримые множества (по Лебегу и по Жордану) и их свойства. Измеримые функции и их свойства. Сходимость почти всюду, ее связь с равномерной сходимостью. Сходимость по мере, ее связь со сходимостью почти всюду.

Определение интеграла Лебега на множестве конечной меры и интегрируемой по Лебегу функции. Свойства интеграла Лебега на множестве конечной меры. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. Вычисление интеграла Лебега. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Вариация функции. Классы функций ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса: свойства, классы интегрируемых функций, вычисление.

Элементы теории чисел комплексных чисел

Комплексные числа. Множество комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел: расширенная комплексная плоскость и сфера Римана.

Последовательности комплексных чисел. Окрестности комплексного числа, окрестность бесконечной точки. Предел последовательности комплексных чисел. Теорема о существовании предела последовательности. Критерий Коши. Свойства сходящихся последовательностей. Ограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства. Частичный предел.

Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Непрерывность: в точке, на множестве, на кривой. Расстояние по области и непрерывность вплоть до границы. Равномерная непрерывность.

Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие производной. Свойства дифференцируемых функций. Условия Коши-Римана. Гармонические и сопряженные функции, теорема о связи действительной и мнимой части дифференцируемой функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференцирование элементарных функций. Конформные отображения. Площадь образа области и длина образа кривой.

Интегрирование функций комплексной переменной. Интегрирование по кривой комплекснозначной функции действительного аргумента. Свойства интеграла по кривой. Интегральная теорема Коши (об интегрировании по замкнутой кривой). Понятие первообразной. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем и теорема о среднем для гармонических функций.

Регулярные функции. Сходящиеся и абсолютно сходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши. Область сходимости степенного ряда, теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда. Основные приемы разложения в ряд Тейлора (использование основных разложений, интегрирование, дифференцирование, разложение дробно-рациональных функций). Регулярные функции. Понятие регулярности в бесконечно удаленной точке. Теорема о связи дифференцируемости и регулярности (с доказательствами). Достаточные условия регулярности: Теорема Морера, первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Свойства регулярных функций.

Основные элементарные функции комплексной переменной: дробно-линейная функция, степенная функция, показательная функция, логарифм, функция Жуковского, тригонометрические и обратные к ним функции, гиперболические и обратные к ним функции. Отображения, осуществляемые элементарными функциями.