Над полем действительных чисел можно вести следующие операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции подчиняются следующим аксиомам:
I. а) ; б) ; в) ; г).
II. а) ; б) ; в) ; г) .
III.
IV. Аксиомы порядка: иначе
V. Аксиомы непрерывности: и выполняется неравенство , то всегда найдется такое число , что ####### будут выполняться соотношения.
Нетривиальным множеством, которое удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам, называют множество действительных чисел.
называется ограниченным сверху (снизу), если такое, что справедливо неравенство (). Число называется верхней (нижней) гранью множества .
Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху, называется точной верхней гранью множества : . Число называется супренумом множества тогда и только тогда, когда 1. ; 2. ; 3. .
Если , то его называют максимальным элементом множества ().
Наибольшее из чисел, ограничивающих множество снизу, называется точной нижней гранью множества : . будет инфинумом множества тогда и только тогда, когда 1. ; 2. ; 3. .
Верхней гранью неограниченного сверху числового множества является , а нижней гранью - .
1. Любое ненулевое числовое множество имеет верхнюю грань, принадлежащую расширенному множеству действительных чисел. Если множество ограничено сверху, то верхняя грань конечна, если не ограничено, то верхняя грань равна . 2. Аналогично для нижней грани.
Принцип Архимеда. Каково бы ни было действительное число , существует такое , что . Для любых действительных чисел и : , что .
Принцип вложенных отрезков. Система числовых отрезков называется системой вложенных отрезков, если все границы этих отрезков упорядочены следующим образом . Т.е. каждый следующий отрезок содержится в предыдущем отрезке.
Принцип Коши-Кантора. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы. Следствие: для всякой системы вложенных отрезков, длина которых существует единственная точка , которая принадлежит всем отрезкам. Причем .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.