Теория действительных чисел. Принцип Архимеда. Принцип Коши-Кантора

Теория действительных чисел

Над полем действительных чисел можно вести следующие операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции подчиняются следующим аксиомам:

I. а) ; б) ; в) ; г).

II. а) ; б) ; в) ; г) .

III.

IV. Аксиомы порядка:  иначе

V. Аксиомы непрерывности:  и выполняется неравенство , то всегда найдется такое число , что ####### будут выполняться соотношения.

Нетривиальным множеством, которое удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам, называют множество действительных чисел.

 называется ограниченным сверху (снизу), если  такое, что  справедливо неравенство  (). Число  называется верхней (нижней) гранью множества .

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Наименьшее из чисел, ограничивающих множество  сверху, называется точной верхней гранью множества : . Число  называется супренумом множества  тогда и только тогда, когда 1. ; 2. ; 3. .

Если , то его называют максимальным элементом множества  ().

Наибольшее из чисел, ограничивающих множество  снизу, называется точной нижней гранью множества : .  будет инфинумом множества  тогда и только тогда, когда 1. ; 2. ; 3. .

Верхней гранью неограниченного сверху числового множества является , а нижней гранью - .

1. Любое ненулевое числовое множество имеет верхнюю грань, принадлежащую расширенному множеству действительных чисел. Если множество ограничено сверху, то верхняя грань конечна, если не ограничено, то верхняя грань равна . 2. Аналогично для нижней грани.

Принцип Архимеда. Каково бы ни было действительное число , существует такое , что . Для любых действительных чисел  и : , что .

Принцип вложенных отрезков. Система числовых отрезков  называется системой вложенных отрезков, если все границы этих отрезков упорядочены следующим образом . Т.е. каждый следующий отрезок содержится в предыдущем отрезке.

Принцип Коши-Кантора. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы. Следствие: для всякой системы вложенных отрезков, длина которых  существует единственная точка , которая принадлежит всем отрезкам. Причем .