Пусть функция определена в некоторой окрестности . Тогда называют производной функции в точке . Если вышеописанный предел равен нулю, то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке .
Если функция определена в некоторой право- (лево-) сторонней окрестности точки и существует конечный (бесконечный) передел определенного знака, то называют соответственно конечной (бесконечной) правой (левой) производной функции в точке : . Замечание: Функция , определенная в окрестности точки имеет производную в этой точке тогда и только тогда, когда .
Функция называется дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и ее приращение , где - функция от переменной называется дифференциалом функции в точек и обозначается . обычно обозначают и записывают дифференциал функции в виде . Замечание: Величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем .
Теорема о дифференцировании функции. Для того, чтобы функция была дифференцируема в некоторой точке необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом . Замечание: Дифференцируемость функции в точке равносильно существованию в этой точке конечной производной.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Следствие: Если функция в некоторой точке имеет конечную производную, то она непрерывна в этой точке, обратное не всегда верно.
Если существует конечный , то прямая, уравнение которой имеет вид, полученная из уравнения прямой при , называется касательной к графику функции в точке . Получаем, что . Дифференциал в точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.
Пусть функция определена в некоторой . Будем называть скоростью изменения переменой относительно переменной в точке .
Правила вычисления производных. Пусть и определены в некоторой , и в точке существуют их производные. Тогда функции тоже имеют производные на причем: 1) ; 2) ; 3) . Следствия: 1) Если функция имеет производную в точке , то функция тоже имеет производную в этой точке, равную ; 2) Если функции имеют в точке производные, то любая линейная комбинация этих функций тоже будет иметь производную ; 3) Аналогичные свойства выполняются для дифференциалов функции: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Теорема о производной обратной функции. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой и пусть в этой точке существует . Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем производная обратной функции равна обратной производной прямой функции .
Теорема о производной сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция также имеет производную в точке .
Замечания: 1) Аналогичные соотношения выполняются для дифференциалов: ; 2. Свойства инвариантности формы первого дифференциала относительно преобразования независимых переменных: .
Пусть функция определена на интервале и имеет в каждой точке этого интервала производную . Если в некоторой точке функция дифференцируема, то называется второй производной функции в точке : . Аналогично определяется производная -ого порядка: .
Функция называется раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка включительно.
Свойства вторых производных. 1) Пусть функция имеет вторую производную в точке , а функция имеет вторую производную в точке . Тогда сложная функция имеет в точке вторую производную, которая вычисляется по формуле . 2) Функция непрерывна и строго монотонна в некоторой и пусть в этой окрестности . Тогда обратная функция имеет вторую производную в точке , причем она может быть вычислена по формуле .
Правило дифференцирования параметрически заданных функций. Пусть , и они определены в некоторой . Причем одна из них, например функция непрерывна и строго монотонна в этой окрестности. Тогда для функции и тогда в . Если функции имеют в производные в точке и если , то параметрически заданная функция имеет в этой точке производную, которая вычисляется по формуле .
Значение дифференциала , т.е. дифференциала от первого дифференциала, в точке называется вторым дифференциалом функции: . Дифференциал n-ого порядка вычисляется аналогично: . Замечание: Второй дифференциал в отличие от первого не обладает свойством инвариантности относительно свободного переменного: .
Теоремы о среднем дифференцируемых функций. Теорема Ферма. Пусть функция определена в некоторой и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение, тогда если при существует конечная (бесконечная определенного знака) производная, то она равна нулю. Теорема Ролля. Пусть функция : 1) непрерывна на ; 2) имеет в каждой точке конечную или бесконечную определенного знака производную; 3) принимает . Тогда . Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на и в каждой точке принадлежащей этому интервалу имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна точка . Теорема Коши. Пусть даны функции , и для них выполнены следующие условия: 1) обе функции непрерывны на ; 2) обе функции имеют производные в любой точке этого интервала; 3) . Тогда .
Выражения вида называются неопределенностями.
Теорема. Пусть функции , определенные на таковы, что: 1) ; 2) . Тогда существует . Тогда правилом Лопеталя будет называть определение предела отношений функций по формуле ( может быть равно ). Это правило справедливо для неопределенностей вида .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.