Производная и дифференциал. Теорема о дифференцировании функции

Производная и дифференциал

Пусть функция  определена в некоторой окрестности . Тогда  называют производной функции в точке . Если вышеописанный предел равен нулю, то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке .

Если функция  определена в некоторой право- (лево-) сторонней окрестности точки  и существует конечный (бесконечный) передел определенного знака, то  называют соответственно конечной (бесконечной) правой (левой) производной функции  в точке : . Замечание: Функция , определенная в окрестности точки  имеет производную в этой точке тогда и только тогда, когда .

Функция  называется дифференцируемой в точке , если она определена в некоторой окрестности точки  и ее приращение , где  - функция от переменной  называется дифференциалом функции  в точек  и обозначается .  обычно обозначают  и записывают дифференциал функции в виде . Замечание: Величина  является бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Теорема о дифференцировании функции. Для того, чтобы функция  была дифференцируема в некоторой точке  необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом . Замечание: Дифференцируемость функции  в точке  равносильно существованию в этой точке конечной производной.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Следствие: Если функция в некоторой точке имеет конечную производную, то она непрерывна в этой точке, обратное не всегда верно.

Если существует конечный , то прямая, уравнение которой имеет вид, полученная из уравнения прямой  при , называется касательной к графику функции в точке . Получаем, что . Дифференциал  в точке  равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.

Пусть функция  определена в некоторой . Будем называть  скоростью изменения переменой  относительно переменной  в точке .

Правила вычисления производных. Пусть  и  определены в некоторой , и в точке  существуют их производные. Тогда функции  тоже имеют производные на  причем: 1) ; 2) ; 3) . Следствия: 1) Если функция  имеет производную в точке , то функция  тоже имеет производную в этой точке, равную ; 2) Если функции  имеют в точке  производные, то любая линейная комбинация этих функций тоже будет иметь производную ; 3) Аналогичные свойства выполняются для дифференциалов функции: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Теорема о производной обратной функции. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой  и пусть в этой точке существует . Тогда обратная функция  имеет производную в точке , причем производная обратной функции равна обратной производной прямой функции .

Теорема о производной сложной функции. Пусть функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке . Тогда сложная функция  также имеет производную в точке .

Замечания: 1) Аналогичные соотношения выполняются для дифференциалов: ; 2. Свойства инвариантности формы первого дифференциала относительно преобразования независимых переменных: .

Пусть функция  определена на интервале  и имеет в каждой точке этого интервала производную . Если в некоторой точке  функция дифференцируема, то  называется второй производной функции  в точке : . Аналогично определяется производная -ого порядка: .

Функция называется  раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка  включительно.

Свойства вторых производных. 1) Пусть функция  имеет вторую производную в точке , а функция  имеет вторую производную в точке . Тогда сложная функция  имеет в точке  вторую производную, которая вычисляется по формуле . 2) Функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой  и пусть в этой окрестности . Тогда обратная функция  имеет вторую производную в точке , причем она может быть вычислена по формуле .

Правило дифференцирования параметрически заданных функций. Пусть , и они определены в некоторой . Причем одна из них, например функция  непрерывна и строго монотонна в этой окрестности. Тогда для функции  и тогда в . Если функции  имеют в производные в точке  и если , то параметрически заданная функция  имеет в этой точке производную, которая вычисляется по формуле .

Значение дифференциала , т.е. дифференциала от первого дифференциала, в точке  называется вторым дифференциалом функции: . Дифференциал n-ого порядка вычисляется аналогично: . Замечание: Второй дифференциал в отличие от первого не обладает свойством инвариантности относительно свободного переменного: .

Теоремы о среднем дифференцируемых функций. Теорема Ферма. Пусть функция  определена в некоторой  и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение, тогда если при  существует конечная (бесконечная определенного знака) производная, то она равна нулю. Теорема Ролля. Пусть функция : 1) непрерывна на ; 2) имеет в каждой точке  конечную или бесконечную определенного знака производную; 3) принимает . Тогда . Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на  и в каждой точке принадлежащей этому интервалу имеет конечную или определенного знака бесконечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна точка . Теорема Коши. Пусть даны функции , и для них выполнены следующие условия: 1) обе функции непрерывны на ; 2) обе функции имеют производные в любой точке этого интервала; 3) . Тогда .

Выражения вида  называются неопределенностями.

Теорема. Пусть функции , определенные на  таковы, что: 1) ; 2) . Тогда существует . Тогда правилом Лопеталя будет называть определение предела отношений функций по формуле  ( может быть равно ). Это правило справедливо для неопределенностей вида .