Электростатическое поле при наличии диэлектриков, страница 4

              Результирующее поле над диэлектриком создается двумя различающимися по величине разноименными зарядами, расположенными симметрично относительно границы раздела. Поле внутри диэлектрика  оказывается эквивалентным полю одного эффективного точечного заряда Q=2q/(e+1) и, следовательно, направлено вдоль прямых, исходящих из точки расположения свободного заряда q₀.. Часть линий вектора E обрывается на границе раздела, оканчиваясь на реальном поверхностном заряде.

              Картина линий вектора D  над диэлектриком совпадает с распределением линий электрического поля. В объеме диэлектрика линии D идут гуще, чем E, поскольку векторы отличаются в e раз. При их изображении нужно учесть граничное условие (5.21), согласно которому линии D не имеют разрыва.

              Следует обратить внимание на две особенности полученного результата. Во-первых, в рассмотренной ситуации электрическое поле внутри диэлектрика, как и было, указано в общем случае, не изменяется в e раз. Во-вторых, устремляя к бесконечности диэлектрическую проницаемость, из полученного решения действительно легко получить ранее найденное решение задачи о заряде над полубесконечным проводником.

Пример 5.4.2.       Точечный заряд вблизи плоской границы полупространства, заполненного однородным диэлектриком (второй способ решения).

Не используя полученного методом изображений решения, рассчитать поверхностное распределение связанных зарядов на плоской поверхности полу бесконечного однородного диэлектрика, возникающих в результате воздействия точечного положительного заряда (рис.5.2).

Решение:     

В принципе решение предыдущего примера позволяет рассчитать электрическое поле по обе стороны от границы диэлектрика и получить ответ на поставленный вопрос с помощью теоремы о потоке вектора Е (попытайтесь это сделать).

              Представляется более полезным продемонстрировать решение задачи с самого начала другим способом, в котором не используется основанный на угадывании несколько формальный метод изображений

              Рассмотрим небольшую гауссову коробочку в форме цилиндра, расположенного на расстоянии r от оси z и содержащую внутри участок поверхности диэлектрика с искомой плотностью заряда. Применение интегральной теоремы Гаусса для электрического поля позволяет связать нормальную компоненту поля E’, создаваемого зарядами внутри коробочки с их поверхностной плотностью (5.24). Из-за того, что граница плоская, расположенные сбоку поверхностные заряды не дают вклада в эту составляющую.

              Применение к той же поверхности теоремы о потоке вектора поляризации (5.6) позволяет связать ту же поверхностную плотность зарядов с нормальной составляющей вектора P, отличной от нуля только в объеме диэлектрика (5.25).В свою очередь эта составляющая может быть выражена через полное электрическое поле, являющееся суммой полей свободного заряда и искомого поверхностного распределения (5.26). Поскольку нормальная составляющая поля свободного заряда известна, получается уравнение с одним неизвестным - поверхностной плотностью связанных зарядов (5.27). Его решение (5.28)  с точностью до простого множителя (e-1) /( e+1) совпадает с решением аналогичной задачи о распределении зарядов на плоской поверхности проводника (3.10). Т.о. в рассматриваем случае заряд - изображение оказывается в указанное число раз меньшим заряда - источника