Электростатическое поле при наличии диэлектриков, страница 3

Пример5.3.     Заряд, окруженный  слоем из диэлектрика.

Найти электрическое поле во всех точках пространства, создаваемое зарядом, находящемся в центре сферического слоя из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью  e=const.

Решение:     

Рассматриваемая система обладает сферической симметрией. В каждой точке гауссовой поверхности, имеющей форму сферы с центром в точке нахождения заряда, вектор D направлен по радиусу и имеет одну величину, которую легко найти из теоремы о потоке (5.16). Электрическое поле внутри диэлектрика в e раз меньше, а вне его - точно такое же, каким оно было бы при отсутствии слоя (5.17).

		(4.16)	Вектор электричес­кой индукции в случае сферически симметричной системы из точечного заряда и диэлектрического слоя.
		(4.17)	Электростатическое поле, создаваемое точечным зарядом, помещенным в центр сферического слоя из однородного диэлектрика.

5.4.   Граничные условия для векторов E и D

              В случаях, когда симметрии электростатической системы недостаточно для нахождения вектора D, при решении задач на расчете электростатических полей в присутствии диэлектриков оказываются полезными граничные условия для векторов электрического поля и электрической индукции. Эти условия легко выводятся из интегральных теорем о потоке вектора D (5.18) и циркуляции E (5.19). Например, граничные условия могут использоваться при решении задач электростатики диэлектриков методом изображений. Последний состоит в таком подборе системы фиктивных зарядов, заменяющих связанные, чтобы на границах диэлектриков выполнялись условия (5.18) и (5.19).

		(5.18)	Граничное условие для вектора D в диэлектрике.
		(5.19)	Граничное условие для вектора E в диэлектрике.

Пример5.4.1. Точечный заряд вблизи плоской границы   полупространства, заполненного однородным диэлектриком.

Рассчитать электрическое поле, создаваемое системой из точечного заряда и полу бесконечного диэлектрика с  плоской границей.

Решение:     

Прежде всего, убедимся, что в случае однородного диэлектрика, не содержащего в своем объеме свободных зарядов, макроскопический связанный заряд может появиться только на границе раздела. Для доказательства достаточно выразить плотность связанных зарядов через дивергенцию вектора поляризации и далее через D и e (5.20). Из полученного соотношения непосредственно следует сделанное утверждение.

              Из приведенного доказательства следует, что в рассматриваемом случае  связанные заряды могут возникать только на границе диэлектрика в виде поверхностного распределения s’. Из-за того, что заряженная поверхность является плоскостью, создаваемое ей поле E^/ оказывается симметричным относительно границы диэлектрика (плоскости z=0). Попытаемся подобрать точечные заряды q^/ и q^// так, чтобы создаваемых ими поля в полупространствах z>0 и z<0 соответственно совпадали с полями поляризационных зарядов. Из симметрии относительно плоскости следует, что заряды - изображения (если, конечно, они существуют) равны друг другу и располагаются симметрично относительно поверхности диэлектрика (рис.5.2) Из симметрии относительно поворота вокруг перпендикуляра, опущенного на границу из точки нахождения свободного заряда, следует, что искомые фиктивные заряды так же должны находиться на этом перпендикуляре.

              Для нахождения величины зарядов - изображений и их положения можно воспользоваться граничным условием для вектора D, которое в конкретном случае имеет вид соотношения (5.21). Подстановка в граничные условия конкретные выражения для полей точечных зарядов (источника и изображений) и учет требования тождественного выполнения полученное при этом равенство (5.22) для любой точки границы приводят к результату (5.23).